14{ }^{\text {a }} Questão. No espaço \mathbb{P}_{4}, considere o subespaço
W=\left\{p(x) \in \mathbb{P}_{4} \mid p(0)=0 \text { e } p^{\prime}(0)=0\right\}
  • Encontre uma base para W.
  • Estenda essa base para uma base completa de \mathbb{P}_{4}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar uma base para o subespaço W definido por
W=\left\{p(x)\in\mathbb{P}_{4}\mid p(0)=0\text{ e }p'(0)=0\right\}.
  1. Estender essa base para uma base completa de \mathbb{P}_{4}.
Informações dadas que vamos usar:
  • \mathbb{P}_{4} é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 4.
  • A condição p(0)=0 e p'(0)=0 restringe os coeficientes do polinômio em 0.

Passo 2

Escrevemos um polinômio geral de \mathbb{P}_{4}. Seja
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4},
onde a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} são números reais. Esta é a forma geral de qualquer polinômio em \mathbb{P}_{4}.

Passo 3

Aplique as condições dadas ao polinômio geral.
Primeiro, p(0)=0 significa
p(0)=a_{0}=0.
Segundo, calcule a derivada p'(x). Temos
p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}.
A condição p'(0)=0
p'(0)=a_{1}=0.
Portanto, as duas condições implicam a_{0}=0 e a_{1}=0.

Passo 4

Com a_{0}=a_{1}=0, o polinômio em W tem forma
p(x)=a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}.
Isto mostra que todo polinômio de W é combinação linear dos polinômios x^{2},x^{3},x^{4}. Em linguagem de vetores, mostramos que
W=\operatorname{span}\{x^{2},x^{3},x^{4}\}.
Explicação didática curta sobre “span”: dizer que W é o span de \{x^{2},x^{3},x^{4}\} significa que qualquer p\in W pode ser escrito como p=a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4} para alguns escalares a_{2},a_{3},a_{4}. Isso mostra que \{x^{2},x^{3},x^{4}\} gera W.

Passo 5

Agora precisamos verificar que \{x^{2},x^{3},x^{4}\} é linearmente independente, para ser base.
Suponha uma combinação linear nula:
c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}=0\quad\text{(polinômio identicamente zero).}ô
Dois polinômios são iguais se e somente se todos os coeficientes correspondentes são iguais. Comparando coeficientes dos monômios x^{2},x^{3},x^{4} obtemos
c_{2}=0,\quad c_{3}=0,\quad c_{4}=0.
Logo a única combinação linear que dá o polinômio zero é a trivial, então x^{2},x^{3},x^{4} são linearmente independentes.
Concluímos que \{x^{2},x^{3},x^{4}\} é uma base de W. Também disso segue que \dim W=3.

Passo 6

Agora vamos estender essa base para uma base de \mathbb{P}_{4}.
Primeiro, lembramos que \mathbb{P}_{4} tem dimensão 5. Um conjunto padrão que gera \mathbb{P}_{4} é \{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\} (os monômios). Esses cinco monômios são linearmente independentes (argumento: se uma combinação b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}+b_{4}x^{4}=0 então comparar coeficientes dá b_{0}=b_{1}=\dots=b_{4}=0). Portanto \dim\mathbb{P}_{4}=5.
Como \dim W=3, precisamos de mais 2 vetores fora de W para formar uma base completa de dimensão 5.

Passo 7

Escolhemos os vetores simples 1 e x. Note que 1\notin W pois para 1 temos 1(0)=1\neq0; e x\notin W pois x'(0)=1\neq0. Assim são adequados para completar.
Mostramos que o conjunto
\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\}
é linearmente independente (já mencionado) e portanto é uma base de \mathbb{P}_{4}. Outra maneira de ver: já sabemos que \{x^{2},x^{3},x^{4}\} é independente; adicionar 1 e x mantém independência porque nenhuma combinação não-trivial desses cinco pode ser zero (compare coeficientes do polinômio). Assim obtivemos uma extensão da base de W para uma base de \mathbb{P}_{4}.

Passo 8

Resumo final: a base de W encontrada foi \{x^{2},x^{3},x^{4}\}. Uma extensão para base de \mathbb{P}_{4} é \{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\}. (Ordem pode ser trocada, mas é comum colocar os monômios em ordem de grau.)

Resposta

\{x^{2},x^{3},x^{4})
\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4})

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