Questão. No espaço
, considere o subespaço
- Encontre uma base para
.
- Estenda essa base para uma base completa de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar uma base para o subespaço
definido por
- Estender essa base para uma base completa de
.
Informações dadas que vamos usar:
-
é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - A condição
e restringe os coeficientes do polinômio em .
Passo 2
Escrevemos um polinômio geral de
. Seja
onde
são números reais. Esta é a forma geral de qualquer polinômio em
.
Passo 3
Aplique as condições dadas ao polinômio geral.
Primeiro,
significa
Segundo, calcule a derivada
. Temos
A condição
dá
Portanto, as duas condições implicam
e
.
Passo 4
Com
, o polinômio em
tem forma
Isto mostra que todo polinômio de
é combinação linear dos polinômios
. Em linguagem de vetores, mostramos que
Explicação didática curta sobre “span”: dizer que
é o span de
significa que qualquer
pode ser escrito como
para alguns escalares
. Isso mostra que
gera
.
Passo 5
Agora precisamos verificar que
é linearmente independente, para ser base.
Suponha uma combinação linear nula:
Dois polinômios são iguais se e somente se todos os coeficientes correspondentes são iguais. Comparando coeficientes dos monômios
obtemos
Logo a única combinação linear que dá o polinômio zero é a trivial, então
são linearmente independentes.
Concluímos que
é uma base de
. Também disso segue que
.
Passo 6
Agora vamos estender essa base para uma base de
.
Primeiro, lembramos que
tem dimensão
. Um conjunto padrão que gera
é
(os monômios). Esses cinco monômios são linearmente independentes (argumento: se uma combinação
então comparar coeficientes dá
). Portanto
.
Como
, precisamos de mais
vetores fora de
para formar uma base completa de dimensão
.
Passo 7
Escolhemos os vetores simples
e
. Note que
pois para
temos
; e
pois
. Assim são adequados para completar.
Mostramos que o conjunto
é linearmente independente (já mencionado) e portanto é uma base de
. Outra maneira de ver: já sabemos que
é independente; adicionar
e
mantém independência porque nenhuma combinação não-trivial desses cinco pode ser zero (compare coeficientes do polinômio). Assim obtivemos uma extensão da base de
para uma base de
.
Passo 8
Resumo final: a base de
encontrada foi
. Uma extensão para base de
é
. (Ordem pode ser trocada, mas é comum colocar os monômios em ordem de grau.)