Vou lembrar e explicar com calma o que significa “linearmente independente”, porque isso é a ferramenta principal do problema.
Definição: um conjunto de vetores \{w_1,w_2,w_3\} é linearmente independente se, sempre que existirem escalares a,b,c tais que
a w_1 + b w_2 + c w_3 = 0,
então necessariamente a=b=c=0. A combinação a w_1 + b w_2 + c w_3 é chamada de combinação linear; a condição exige que a única combinação linear que dá o vetor nulo seja a combinação trivial (todos coeficientes zero). Isso é o que vamos usar: montamos uma combinação linear dos vetores novos igual a zero e mostramos que os coeficientes precisam ser zero.
Passo 3
Começamos aplicando exatamente essa ideia aos vetores que queremos testar. Suponha que existam escalares a,b,c tais que
Resolvemos esse sistema. Da segunda equação vem b=-a. Da primeira vem c=-a. Substituindo em b+c=0 obtemos
(-a) + (-a) = -2a = 0.
Aqui vale uma observação importante sobre o corpo de escalares (o campo) sobre o qual V é definido:
Se o corpo tiver característica diferente de 2 (por exemplo, \mathbb{R} ou \mathbb{Q}), então -2a=0 implica a=0. Logo a=0 e, pelos relacionamentos anteriores, b=0 e c=0. Isso mostra que a única combinação linear que anula os vetores novos é a trivial, isto é, os vetores
\{v_{1}+v_{2},\; v_{2}+v_{3},\; v_{3}+v_{1}\}
são linearmente independentes.
Se o corpo tiver característica 2 (isto é, 1+1=0 no corpo), então -2a=0 é verdadeiro para todo a e o raciocínio acima não força a=0. De fato, em característica 2 há contraexemplos: tomando um sistema independente \{v_1,v_2,v_3\} sobre o corpo \mathbb{F}_2, verifica-se que
(v_1+v_2) + (v_2+v_3) + (v_3+v_1) = 0,
ou seja, os três vetores tornam‑se linearmente dependentes. Portanto a conclusão geral só vale sem ressalvas quando o corpo tiver característica diferente de 2.
Passo 7
Resumo do raciocínio e mensagem prática para a prova: monte a combinação linear dos vetores novos igual a zero, expanda e use a independência dos vetores originais para obter um sistema linear para os coeficientes; resolva o sistema. Lembre-se de checar (ou assumir) que o corpo de escalares não tem característica 2 — no caso usual de espaços vetoriais sobre \mathbb{R} isso já está garantido. Isso fecha a prova.
Resposta
Sob um corpo de característica diferente de 2 (por exemplo \mathbb{R}), \{v_{1}+v_{2},\; v_{2}+v_{3},\; v_{3}+v_{1}\} é linearmente independente.