\mathbf{1 6}^{\mathbf{a}} Questão. Se \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é um conjunto linearmente independente em V, prove que
\left\{v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3}, v_{3}+v_{1}\right\}
também é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado dá que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é um conjunto linearmente independente em V e pede para provar que
\{v_{1}+v_{2},\; v_{2}+v_{3},\; v_{3}+v_{1}\}
também é linearmente independente.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad \{v_{1},v_{2},v_{3}\}\\ \text{é linearmente independente};\\\ &\text{(ii)}\quad \text{queremos provar independência de }\{v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},v_{3}+v_{1}\}. \end{aligned}éê

Passo 2

Vou lembrar e explicar com calma o que significa “linearmente independente”, porque isso é a ferramenta principal do problema.
Definição: um conjunto de vetores \{w_1,w_2,w_3\} é linearmente independente se, sempre que existirem escalares a,b,c tais que
a w_1 + b w_2 + c w_3 = 0,
então necessariamente a=b=c=0. A combinação a w_1 + b w_2 + c w_3 é chamada de combinação linear; a condição exige que a única combinação linear que dá o vetor nulo seja a combinação trivial (todos coeficientes zero). Isso é o que vamos usar: montamos uma combinação linear dos vetores novos igual a zero e mostramos que os coeficientes precisam ser zero.

Passo 3

Começamos aplicando exatamente essa ideia aos vetores que queremos testar. Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a(v_{1}+v_{2}) + b(v_{2}+v_{3}) + c(v_{3}+v_{1}) = 0.
Aqui 0 é o vetor nulo em V. A estratégia óbvia é expandir essa soma e agrupar os termos em v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 4

Expandindo e agrupando por v_{1},v_{2},v_{3} obtemos
a v_{1} + a v_{2} + b v_{2} + b v_{3} + c v_{3} + c v_{1} = 0.
Reagrupando:
(a+c) v_{1} + (a+b) v_{2} + (b+c) v_{3} = 0.

Passo 5

Agora usamos a hipótese de que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente. Pela definição (Passo 2), a igualdade
(a+c) v_{1} + (a+b) v_{2} + (b+c) v_{3} = 0
implica que os coeficientes das três componentes devem ser zero. Assim obtemos o sistema de equações para os escalares a,b,c:
\begin{cases} a+c = 0,\\\ a+b = 0,\\\ b+c = 0. \end{cases}

Passo 6

Resolvemos esse sistema. Da segunda equação vem b=-a. Da primeira vem c=-a. Substituindo em b+c=0 obtemos
(-a) + (-a) = -2a = 0.
Aqui vale uma observação importante sobre o corpo de escalares (o campo) sobre o qual V é definido:
  • Se o corpo tiver característica diferente de 2 (por exemplo, \mathbb{R} ou \mathbb{Q}), então -2a=0 implica a=0. Logo a=0 e, pelos relacionamentos anteriores, b=0 e c=0. Isso mostra que a única combinação linear que anula os vetores novos é a trivial, isto é, os vetores
\{v_{1}+v_{2},\; v_{2}+v_{3},\; v_{3}+v_{1}\}
são linearmente independentes.
  • Se o corpo tiver característica 2 (isto é, 1+1=0 no corpo), então -2a=0 é verdadeiro para todo a e o raciocínio acima não força a=0. De fato, em característica 2 há contraexemplos: tomando um sistema independente \{v_1,v_2,v_3\} sobre o corpo \mathbb{F}_2, verifica-se que
(v_1+v_2) + (v_2+v_3) + (v_3+v_1) = 0,
ou seja, os três vetores tornam‑se linearmente dependentes. Portanto a conclusão geral só vale sem ressalvas quando o corpo tiver característica diferente de 2.

Passo 7

Resumo do raciocínio e mensagem prática para a prova: monte a combinação linear dos vetores novos igual a zero, expanda e use a independência dos vetores originais para obter um sistema linear para os coeficientes; resolva o sistema. Lembre-se de checar (ou assumir) que o corpo de escalares não tem característica 2 — no caso usual de espaços vetoriais sobre \mathbb{R} isso já está garantido. Isso fecha a prova.

Resposta

Sob um corpo de característica diferente de 2 (por exemplo \mathbb{R}), \{v_{1}+v_{2},\; v_{2}+v_{3},\; v_{3}+v_{1}\} é linearmente independente.

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