Questão. Sejam
e
subespaços de
tais que
Quais são os valores possíveis de
? Explique detalhadamente usando desigualdades dimensionais.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subespaços de
com
e pede: quais são os valores possíveis de
? Listei as informações importantes: as dimensões de
e
e que ambos vivem em
. A partir daqui vamos usar desigualdades dimensionais para chegar aos valores possíveis de
.
Passo 2
Primeiro fato geral (explicação): se
é um subespaço de
, então
. Como
é subespaço tanto de
quanto de
, temos as desigualdades
e
Como
não pode ser negativo, também vale
. Assim já obtivemos o intervalo óbvio
Explicação simples do porquê: qualquer vetor no
pertence a
, então a dimensão do espaço de interseção não pode ultrapassar a dimensão de
; idem para
.
Passo 3
Fórmula fundamental (expliquei bem): para dois subespaços
e
vale a fórmula de dimensões (fórmula de Grassmann):
Aqui
é a dimensão do subespaço gerado por somas
com
e
. Intuição: somamos as dimensões de
e
mas subtraímos a dimensão da interseção porque os vetores da interseção foram contados duas vezes (uma vez em cada espaço).
Passo 4
Use agora que
é um subespaço de
, logo
Substituindo a fórmula de Grassmann com
e
obtemos
Como
, temos
Resolvendo essa desigualdade passo a passo:
Portanto, combinando com o resultado do Passo 2 (que dá
), chegamos às desigualdades
Isto significa que a dimensão da interseção não pode ser menor que
nem maior que
.
Passo 5
Mostre que os valores extremos realmente ocorrem (construções explícitas em
, para garantir que são possíveis):
- Caso
: escolha a base canônica de . Tome
Aqui
, logo
e portanto
. Isso atende às dimensões dadas e mostra que
é possível.
- Caso
: usando a mesma base canônica, tome
Qual é
? Qualquer vetor em
é combinação linear de
e também de
. Isso força as componentes nas direções
a serem zero, restando apenas combinações de
e
. Logo
e
. Verifique também a fórmula de Grassmann:
, compatível com o fato de
nesse exemplo.
Esses dois exemplos mostram que tanto
quanto
são realmente alcançáveis com subespaços de
que satisfazem as dimensões dadas.