13^{\mathbf{a}} Questão. Sejam U e W subespaços de \mathbb{R}^{5} tais que
\operatorname{dim}(U)=3, \quad \operatorname{dim}(W)=4 .
Quais são os valores possíveis de \operatorname{dim}(U \cap W) ? Explique detalhadamente usando desigualdades dimensionais.

Passo 1

O enunciado dá que U e W são subespaços de \mathbb{R}^{5} com
\dim(U)=3,\qquad \dim(W)=4,
e pede: quais são os valores possíveis de \dim(U\cap W)? Listei as informações importantes: as dimensões de U e W e que ambos vivem em \mathbb{R}^{5}. A partir daqui vamos usar desigualdades dimensionais para chegar aos valores possíveis de \dim(U\cap W).

Passo 2

Primeiro fato geral (explicação): se V é um subespaço de X, então \dim(V)\le \dim(X). Como U\cap W é subespaço tanto de U quanto de W, temos as desigualdades
\dim(U\cap W)\le \dim(U)=3
e
\dim(U\cap W)\le \dim(W)=4.
Como \dim(U\cap W) não pode ser negativo, também vale \dim(U\cap W)\ge 0. Assim já obtivemos o intervalo óbvio
0\le \dim(U\cap W)\le 3.
Explicação simples do porquê: qualquer vetor no U\cap W pertence a U, então a dimensão do espaço de interseção não pode ultrapassar a dimensão de U; idem para W.

Passo 3

Fórmula fundamental (expliquei bem): para dois subespaços U e W vale a fórmula de dimensões (fórmula de Grassmann):
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).
Aqui \dim(U+W) é a dimensão do subespaço gerado por somas u+w com u\in U e w\in W. Intuição: somamos as dimensões de U e W mas subtraímos a dimensão da interseção porque os vetores da interseção foram contados duas vezes (uma vez em cada espaço).

Passo 4

Use agora que U+W é um subespaço de \mathbb{R}^{5}, logo
\dim(U+W)\le 5.
Substituindo a fórmula de Grassmann com \dim(U)=3 e \dim(W)=4 obtemos
\dim(U+W)=3+4-\dim(U\cap W)=7-\dim(U\cap W).
Como \dim(U+W)\le 5, temos
7-\dim(U\cap W)\le 5.
Resolvendo essa desigualdade passo a passo:
7-\dim(U\cap W)\le 5
-\dim(U\cap W)\le -2
\dim(U\cap W)\ge 2.
Portanto, combinando com o resultado do Passo 2 (que dá \dim(U\cap W)\le 3), chegamos às desigualdades
2\le \dim(U\cap W)\le 3.
Isto significa que a dimensão da interseção não pode ser menor que 2 nem maior que 3.

Passo 5

Mostre que os valores extremos realmente ocorrem (construções explícitas em \mathbb{R}^{5}, para garantir que são possíveis):
  • Caso \dim(U\cap W)=3: escolha a base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}\} de \mathbb{R}^{5}. Tome U=\operatorname{span}\{e_{1},e_{2},e_{3}\},
W=\operatorname{span}\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}.
Aqui U\subset W, logo U\cap W=U e portanto \dim(U\cap W)=\dim(U)=3. Isso atende às dimensões dadas e mostra que 3 é possível.
  • Caso \dim(U\cap W)=2: usando a mesma base canônica, tome U=\operatorname{span}\{e_{1},e_{2},e_{3}\},
W=\operatorname{span}\{e_{1},e_{2},e_{4},e_{5}\}.
Qual é U\cap W? Qualquer vetor em U\cap W é combinação linear de \{e_{1},e_{2},e_{3}\} e também de \{e_{1},e_{2},e_{4},e_{5}\}. Isso força as componentes nas direções e_{3},e_{4},e_{5} a serem zero, restando apenas combinações de e_{1} e e_{2}. Logo U\cap W=\operatorname{span}\{e_{1},e_{2}\} e \dim(U\cap W)=2. Verifique também a fórmula de Grassmann: \dim(U+W)=3+4-2=5, compatível com o fato de U+W=\mathbb{R}^{5} nesse exemplo.
Esses dois exemplos mostram que tanto 2 quanto 3 são realmente alcançáveis com subespaços de \mathbb{R}^{5} que satisfazem as dimensões dadas.

Resposta

\{2,3\}

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