Agora explico o que significa [I]_{B}^{A}. Essa matriz representa a aplicação identidade I:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} vista com coordenadas na base B na origem e coordenadas na base A no destino. Uma regra prática muito útil:
As colunas de [I]_{B}^{A} são as coordenadas, em relação à base A, dos vetores da base B (cada coluna corresponde a um vetor de B).
Analogamente, as colunas de [I]_{A}^{B} são as coordenadas, em relação à base B, dos vetores da base A. Como B é a base canônica, coordenadas em B são simplesmente as componentes dos vetores.
Vou então expressar cada vetor de B como combinação linear dos vetores de A para obter as colunas de [I]_{B}^{A}.
Queremos escrever e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1) (os vetores de B) como combinações e_{j}= \alpha_{1}a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+\alpha_{3}a_{3}. Para cada e_{j} obtemos o sistema de equações olhando componente a componente. Note que, para coeficientes x,y,z,
x a_{1}+y a_{2}+z a_{3} = (x+y,\; x+z,\; y+z).
Usarei isso para cada e_{j}.
Para e_{1}=(1,0,0) precisamos de x+y=1,\; x+z=0,\; y+z=0.
De x+z=0 vem z=-x.
De y+z=0 vem y=-z= x.
Então x+y= x + x = 2x = 1 dá x=\tfrac{1}{2}.
Logo (x,y,z)=(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}). Essa é a primeira coluna de [I]_{B}^{A}.
Para e_{2}=(0,1,0) precisamos de x+y=0,\; x+z=1,\; y+z=0.
De y+z=0 vem z=-y.
De x+y=0 vem x=-y.
Então x+z = -y + (-y) = -2y =1 dá y=-\tfrac{1}{2}.
Logo x=\tfrac{1}{2},\; y=-\tfrac{1}{2},\; z=\tfrac{1}{2}. Essa é a segunda coluna.
Para e_{3}=(0,0,1) precisamos de x+y=0,\; x+z=0,\; y+z=1.
Das duas primeiras temos x=-y e x=-z, então y=z.
De y+z=1 vem 2y=1 então y=\tfrac{1}{2}.
Logo x=-\tfrac{1}{2},\; y=\tfrac{1}{2},\; z=\tfrac{1}{2}. Essa é a terceira coluna.
Passo 6
Com as colunas encontradas, a matriz [I]_{B}^{A} (colunas: coordenadas de e_{1},e_{2},e_{3} em A) é
Agora [I]_{A}^{B} tem colunas dadas pelas coordenadas dos vetores de A em relação a B. Como B é a base canônica, essas coordenadas são simplesmente as próprias componentes dos vetores a_{1},a_{2},a_{3}. Assim
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos c_{2}-c_{3}=3\]. Somando isso com a terceira equação \(c_{2}+c_{3}=3 dá 2c_{2}=6, logo c_{2}=3. Então c_{3}=0 e c_{1}=2-c_{2}= -1.