Q 14 Em todos os pontos de uma curva y=f(x) tem-se que y^prime prime=x^2-1. Obtenha a equação desta curva que passa pelo ponto (1,1) e a reta tangente neste ponto é paralela à reta x+12 y-13=0.

Passo 1

O enunciado dá uma curva y=f(x) cuja segunda derivada satisfaz
y'' = x^2 - 1
e pede sua equação sabendo que ela passa por (1,1) e que a reta tangente em x=1 é paralela à reta
x + 12y - 13 = 0
Para resolver, vamos integrar duas vezes para obter y, introduzindo constantes de integração C1 e C2, e depois usar as condições dadas para determinar essas constantes.

Passo 2

Integramos a equação de y'' para obter y':
y' = integral (x^2 - 1),dx = x^33 - x + C1

Passo 3

A reta x+12y-13=0 pode ser escrita como y = -tfrac112x + tfrac1312, logo seu coeficiente angular é -tfrac112. Como a reta tangente à curva em x=1 tem esse mesmo coeficiente, exigimos
y'(1) = -112
Calculando y'(1):
y'(1) = 1^33 - 1 + C1 = 13 - 1 + C1 = C1 - 23
Logo,
C1 - 23 = -112 Longrightarrow C1 = -112 + 23 = 712

Passo 4

Agora integramos y' para obter y:
y = integrall(tfracx^33 - x + tfrac712r),dx = x^412 - x^22 + 7x12 + C2
Como a curva passa por (1,1), impomos
y(1) = 112 - 12 + 712 + C2 = 1
Isso dá
1 + 712 - 612 + C2 = 1 Longrightarrow 212 + C2 = 1 Longrightarrow C2 = 1 - 16 = 56

Resposta

A equação da curva é
boxedy = x^412 - x^22 + 7x12 + 56

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