Encontre o valor dos limites tendendo ao infinito, caso existam.
lim x infty 3 x^5-x^2+72-x^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
limx to infty 3x^5 - x^2 + 72 - x^2
como x cresce sem limite. Esse tipo de problema usa a ideia de comparar os maiores graus no numerador e no denominador para saber se o quociente converge a um número finito, a pminfty ou não existe.

Passo 2

Observamos que o numerador é um polinômio de grau 5, cujo termo de maior grau é 3x^5, e o denominador é um polinômio de grau 2, cujo termo de maior grau é -x^2. Para ver o comportamento quando xtoinfty, basta isolar esses termos de maior grau.

Passo 3

Fatoramos x^5 no numerador e x^2 no denominador:
3x^5 - x^2 + 72 - x^2 = x^5l(3 - x^-3 + 7x^-5r)x^2l(2x^-2 - 1r) = x^3 ;3 - x^-3 + 7x^-52x^-2 - 1
Quando xtoinfty, todos os termos x^-k com k>0 vão a zero.

Passo 4

No limite, o numerador dentro da fração tende a 3 e o denominador tende a -1. Assim,
3 - x^-3 + 7x^-52x^-2 - 1 longrightarrow 3-1 = -3
Logo o fator exterior x^3 domina, levando a
x^3 cdot (-3) longrightarrow -infty quando xtoinfty

Resposta

limx to infty 3x^5 - x^2 + 72 - x^2 = -infty

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