Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+6 y=1+e^{-t}, \mathrm{com} \(y(0)=0, y^{\prime}(0)=0)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+4y'+6y = 1+e^{-t}, \qquad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais dadas. As informações relevantes são:
  • A equação homogênea associada tem operador linear com polinômio característico r^{2}+4r+6.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é soma de uma constante 1 e de uma exponencial e^{-t}.
  • As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada
y''+4y'+6y=0.
Formamos a equação característica
r^{2}+4r+6=0.
Calculando as raízes:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot6}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{16-24}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{-8}}{2} =-2\pm i\sqrt{2}.
Explicação rápida: quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a solução geral da homogênea é
y_{c}(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big).
Aqui \alpha=-2 e \beta=\sqrt{2}. Portanto a solução complementar (homogênea) é
y_{c}(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,t)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,t)\big).

Passo 3

Agora vamos achar uma solução particular y_{p}(t) para a parte não-homogênea. Como o lado direito é soma de termos simples (uma constante e e^{-t}), aplicamos o método dos coeficientes a determinar: procuramos y_{p} como soma de particulares para cada termo.
Para o termo constante 1 tentamos uma solução particular constante
y_{p1}(t)=A,
onde A é constante a determinar. Derivadas de A são zero, então ao substituir na equação obtemos
0+0+6A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{6}.
Portanto um particular para o termo constante é y_{p1}=\dfrac{1}{6}.
Observação didática: escolheu-se A constante porque a entrada é uma constante; se a constante fosse solução da homogênea teríamos que multiplicar por t, mas aqui a homogênea não tem solução constante (pois r=0 não é raiz do polinômio característico), então A simples funciona.

Passo 4

Para o termo e^{-t} tentamos uma solução particular da forma
y_{p2}(t)=B e^{-t},
com B constante a determinar. Substituímos no operador linear L[y]=y''+4y'+6y. Observação útil: para y=e^{rt} vale L[e^{rt}]=p(r)e^{rt}, onde p(r)=r^{2}+4r+6 é o polinômio característico. Aqui r=-1, então
p(-1)=(-1)^{2}+4(-1)+6 = 1-4+6 = 3.
Logo
L[B e^{-t}] = B\,p(-1)e^{-t}=3B e^{-t}.
Queremos que isso seja igual a e^{-t}, portanto
3B e^{-t}=e^{-t}\quad\Rightarrow\quad 3B=1\quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{3}.
Comentário: não houve ressonância porque r=-1 não é raiz do polinômio característico (raízes foram -2\pm i\sqrt{2}); se fosse raiz teríamos que multiplicar por t.
Portanto um particular para e^{-t} é y_{p2}=\dfrac{1}{3}e^{-t}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da complementar com a particular:
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t) =e^{-2t}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,t)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,t)\big)+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{-t}.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Da condição y(0)=0 temos (usando \cos 0=1, \sin 0=0, e^{0}=1):
y(0)=C_{1}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=0.
Como \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}, segue
C_{1}+\frac{1}{2}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora calculamos y'(t) para usar y'(0)=0. Primeiro derivamos y_{c}(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}t)+C_{2}\sin(\sqrt{2}t)\big). Usando produto e cadeia:
y_{c}'(t)=e^{-2t}\Big(-2\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}t)+C_{2}\sin(\sqrt{2}t)\big) + C_{1}\big(-\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t)\big)+C_{2}\big(\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}t)\big)\Big).
Agrupando os coeficientes de \cos(\sqrt{2}t) e \sin(\sqrt{2}t):
y_{c}'(t)=e^{-2t}\Big(\big(-2C_{1}+\sqrt{2}\,C_{2}\big)\cos(\sqrt{2}t) +\big(-2C_{2}-\sqrt{2}\,C_{1}\big)\sin(\sqrt{2}t)\Big).
A derivada da parte particular é
\frac{d}{dt}\Big(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{-t}\Big)=0+\frac{1}{3}(-e^{-t})=-\frac{1}{3}e^{-t}.
Somando,
y'(t)=y_{c}'(t)-\frac{1}{3}e^{-t}.
Avaliar em t=0: com e^{0}=1, \cos0=1, \sin0=0, temos
y'(0)=(-2C_{1}+\sqrt{2}\,C_{2}) -\frac{1}{3}.
A condição y'(0)=0
-2C_{1}+\sqrt{2}\,C_{2}-\frac{1}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad -2C_{1}+\sqrt{2}\,C_{2}=\frac{1}{3}.
Substituindo C_{1}=-\dfrac{1}{2}:
-2\left(-\frac{1}{2}\right)+\sqrt{2}\,C_{2}=\frac{1}{3} \quad\Rightarrow\quad 1+\sqrt{2}\,C_{2}=\frac{1}{3}
\sqrt{2}\,C_{2}=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-\frac{2}{3\sqrt{2}}.
Racionalizando (ou simplificando) obtemos
C_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 7

Chegamos aos valores das constantes:
C_{1}=-\frac{1}{2},\qquad C_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{3}.
A solução que satisfaz o problema de valor inicial é então dada substituindo essas constantes na forma geral.

Resposta

y(t)=e^{-2t}\Big(-\frac{1}{2}\cos(\sqrt{2}\,t)-\frac{\sqrt{2}}{3}\sin(\sqrt{2}\,t)\Big)+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{-t}.

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