Resolva os problemas de valor inicial:
)
)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais dadas. As informações relevantes são:
- A equação homogênea associada tem operador linear com polinômio característico
. - O termo não-homogêneo (forçamento) é soma de uma constante
e de uma exponencial . - As condições iniciais são
e .
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada
Formamos a equação característica
Calculando as raízes:
Explicação rápida: quando as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é
Aqui
e
. Portanto a solução complementar (homogênea) é
Passo 3
Agora vamos achar uma solução particular
para a parte não-homogênea. Como o lado direito é soma de termos simples (uma constante e
), aplicamos o método dos coeficientes a determinar: procuramos
como soma de particulares para cada termo.
Para o termo constante
tentamos uma solução particular constante
onde
é constante a determinar. Derivadas de
são zero, então ao substituir na equação obtemos
Portanto um particular para o termo constante é
.
Observação didática: escolheu-se
constante porque a entrada é uma constante; se a constante fosse solução da homogênea teríamos que multiplicar por
, mas aqui a homogênea não tem solução constante (pois
não é raiz do polinômio característico), então
simples funciona.
Passo 4
Para o termo
tentamos uma solução particular da forma
com
constante a determinar. Substituímos no operador linear
. Observação útil: para
vale
, onde
é o polinômio característico. Aqui
, então
Logo
Queremos que isso seja igual a
, portanto
Comentário: não houve ressonância porque
não é raiz do polinômio característico (raízes foram
); se fosse raiz teríamos que multiplicar por
.
Portanto um particular para
é
.
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da complementar com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Da condição
temos (usando
,
,
):
Como
, segue
Passo 6
Agora calculamos
para usar
. Primeiro derivamos
. Usando produto e cadeia:
Agrupando os coeficientes de
e
:
A derivada da parte particular é
Somando,
Avaliar em
: com
,
,
, temos
A condição
dá
Substituindo
:
Racionalizando (ou simplificando) obtemos
Passo 7
Chegamos aos valores das constantes:
A solução que satisfaz o problema de valor inicial é então dada substituindo essas constantes na forma geral.