9-14 Use a Regra da Cadeia para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=2^x-3 y, x=s^2 t, y=s t^2

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a Regra da Cadeia em funções de várias variáveis: temos z=2^x-3y, com x=x(s,t)=s^2t e y=y(s,t)=st^2. Nosso objetivo é obter partial z/partial s e partial z/partial t.

Passo 2

Para funções z(x,y) com x(s,t) e y(s,t), a Regra da Cadeia diz:
partial zpartial s=partial zpartial xpartial xpartial s+partial zpartial ypartial ypartial s,
partial zpartial t=partial zpartial xpartial xpartial t+partial zpartial ypartial ypartial t

Passo 3

Primeiro, derivamos z=2^x-3y em relação a x e y. Como 2^u’ = 2^uln2:
partial zpartial x=2^x-3yln2,
partial zpartial y=2^x-3ycdot(-3)ln2=-3ln2,2^x-3y

Passo 4

Agora derivamos x=s^2t e y=st^2 em relação a s:
partial xpartial s=2st,
partial ypartial s=t^2

Passo 5

Substituindo na fórmula da cadeia para partial z/partial s:
partial zpartial s=ln2,2^x-3ycdot(2st)+(-3ln2,2^x-3y)cdot t^2
Agrupando termos:
partial zpartial s=ln2,2^x-3y(2st-3t^2)

Passo 6

Derivamos agora x e y em relação a t:
partial xpartial t=s^2,
partial ypartial t=2st

Passo 7

Substituindo na fórmula da cadeia para partial z/partial t:
partial zpartial t=ln2,2^x-3ycdot s^2+(-3ln2,2^x-3y)cdot(2st)
Agrupando termos:
partial zpartial t=ln2,2^x-3y(s^2-6st)

Resposta

partial zpartial s=ln2,2^s^2t-3st^2(2st-3t^2), partial zpartial t=ln2,2^s^2t-3st^2(s^2-6st).

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