1-8 Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.
z=x raiz1+y^2, x=t e^2 t, y=e^-t

Passo 1

O enunciado pede para calcular dzdt sabendo que z é função de x e y e que x e y dependem de t. O conteúdo é regra da cadeia para funções de várias variáveis: precisamos das derivadas parciais de z e das derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z(x,y)=xraiz1+y^2:
partial zpartial x=raiz1+y^2,
partial zpartial y=xcdot12raiz1+y^2cdot2y=x,yraiz1+y^2

Passo 3

Derivar as funções internas:
dxdt=ddtl(te^2tr)=e^2t+2t e^2t=e^2t(1+2t),
dydt=ddt(e^-t)=-e^-t

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
dzdt=partial zpartial xdxdt+partial zpartial ydydt

Passo 5

Substituir as derivadas parciais e as de x e y, além de x=te^2t e y=e^-t. Note que raiz1+y^2=raiz1+e^-2t. Assim:
dzdt=raiz1+e^-2t,e^2t(1+2t)+te^2t,e^-traiz1+e^-2t(-e^-t)
Observando que te^2te^-te^-t=t, fica
dzdt=e^2t(1+2t)raiz1+e^-2t-traiz1+e^-2t

Resposta

dzdt=e^2t(1+2t)raiz1+e^-2t-traiz1+e^-2t

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