1-8 Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.
w=x y^2 z^3, x=sen t, y=cos t, z=1+e^2 t

Passo 1

O enunciado dá a função de várias variáveis
w depende de x, y e z segundo
w = x,y^2,z^3
com as dependências paramétricas
x = sin t, y = cos t, z = 1 + e^2t
O conteúdo é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Vamos precisar de derivadas parciais de w em relação a x, y e z, e das derivadas de x, y e z em relação a t.

Passo 2

Para aplicar a Regra da Cadeia lembramos que, se w = w(x,y,z) e x, y, z dependem de t, então
dwdt = partial wpartial xdxdt + partial wpartial ydydt + partial wpartial zdzdt

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de w = x y^2 z^3:
partial wpartial x = y^2 z^3, partial wpartial y = 2 x y z^3, partial wpartial z = 3 x y^2 z^2

Passo 4

Agora derivamos x, y e z em relação a t:
dxdt = cos t, dydt = -sin t, dzdt = 2e^2t

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
dwdt = y^2 z^3 cdot cos t + 2 x y z^3 cdot (-sin t) + 3 x y^2 z^2 cdot 2e^2t
Em seguida, basta substituir x=sin t, y=cos t e z=1+e^2t.

Resposta

dwdt=cos^3 t,(1+e^2t)^3;-;2sin^2 t,cos t,(1+e^2t)^3;+;6sin t,cos^2 t,(1+e^2t)^2,e^2t

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