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Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, prove/explique a razão, se falso prove/explique ou dê um contra-exemplo.
(a) Se integrala^infty f(x) d x e integrala^infty g(x) d x ambas divergem então integrala^infty[f(x)+g(x)] d x também diverge.

Passo 1

O enunciado trata de integrais impróprias do tipo
integrala^infty f(x),dx
e questiona se a soma de duas funções cujas integrais divergem também tem integral divergente.

Passo 2

Para refutar a afirmação, vamos escolher um contra-exemplo simples. Seja no intervalo [1,infty)
f(x)=1x, g(x)=-1x

Passo 3

Calculemos separadamente as duas integrais impróprias:
integral1^inftyf(x),dx=integral1^infty1x,dx=limRtoinfty[ln x]1^R=limRtoinftyln R=+infty,
logo diverge. E
integral1^inftyg(x),dx=integral1^infty-1x,dx=-limRtoinftyln R=-infty,
também diverge.

Passo 4

Agora somamos as funções e calculamos a integral:
f(x)+g(x)=1x-1x=0
Logo
integral1^infty[f(x)+g(x)],dx=integral1^infty0,dx=0,
que é convergente. Isso mostra que duas integrais divergentes podem ter soma convergente, refutando a afirmação.

Resposta

Falso. Contra-exemplo: em [1,∞), tome f(x)=1/x e g(x)=−1/x. Ambas as integrais divergem, mas a integral da soma é zero e converge.

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