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Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, prove/explique a razão, se falso prove/explique ou dê um contra-exemplo.
(a) Se
e
ambas divergem então
também diverge.
Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, prove/explique a razão, se falso prove/explique ou dê um contra-exemplo.
(a) Se
Passo 1
O enunciado trata de integrais impróprias do tipo
e questiona se a soma de duas funções cujas integrais divergem também tem integral divergente.
Passo 2
Para refutar a afirmação, vamos escolher um contra-exemplo simples. Seja no intervalo
Passo 3
Calculemos separadamente as duas integrais impróprias:
logo diverge. E
também diverge.
Passo 4
Agora somamos as funções e calculamos a integral:
Logo
que é convergente. Isso mostra que duas integrais divergentes podem ter soma convergente, refutando a afirmação.
Resposta
Falso. Contra-exemplo: em [1,∞), tome f(x)=1/x e g(x)=−1/x. Ambas as integrais divergem, mas a integral da soma é zero e converge.