Considere a convolução (f * g)(x) das funções
f(x)=cc x e^-x, & 0áá
É correto afirmar que (f * g)(3) vale:
a) 0
b) e^-3
c) 2e^-3
d) 1
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a convolução das funções e no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre convolução de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar a fórmula dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções (f * g)(x) = integral-infty^infty f(t) cdot g(x - t) , dt e (f * g)(3) = integral-infty^infty f(t) cdot g(3 - t) , dt é definida por:
No nosso caso, queremos calcular , então substituímos por 3:

Passo 3

Agora, vamos analisar onde as funções e são diferentes de zero. Pela definição das funções:
  • é diferente de zero apenas para
  • é diferente de zero quando , ou seja, quando
Isso significa que o intervalo de integração efetivo é de a .

Passo 4

Com isso, podemos simplificar a integral:
(f * g)(3) = integral0^2 f(t) cdot g(3 - t) , dt
Substituindo as expressões de f(t) = t e^-t e g(3 - t) = e^-(3 - t) = e^-3 + t e (f * g)(3) = integral0^2 t e^-t cdot e^-3 + t , dt :
Então:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
t e^-t cdot e^-3 + t = t e^-3
Então, a integral fica:
(f * g)(3) = e^-3 integral0^2 t , dt

Passo 6

Calculando a integral de integral0^2 t , dt = [t^22]0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 = 2 de 0 a 2:

Passo 7

Multiplicando pelo fator (f * g)(3) = e^-3 cdot 2 = 2 e^-3 :

Resposta

A opção correta é:
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

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