Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente ou divergente. E calcule aquelas que convergem.
(d) integral0^3 1x-1 d x (Dica: integral imprópria, ver 2(f) acima)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral0^31x-1,dx
pc de singularidade em x=1. Vamos usar a definição de integral imprópria, dividindo o intervalo em torno do ponto singular e calculando limites.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes em função da descontinuidade em x=1:
integral0^31x-1,dx =limtto1^-integral0^t1x-1,dx +limsto1^+integrals^31x-1,dx
Aqui usamos que uma integral imprópria num ponto interno precisa ser avaliada em cada lado.

Passo 3

Para a parte à esquerda de x=1, calculamos
integral0^t1x-1,dx =l[lnlvert x-1rvertr]0^t =lnlvert t-1rvert-lnlvert -1rvert =ln(1-t)-ln1 =ln(1-t)
Tomando tto1^- vem ln(1-t)to -infty, ou seja, esse limite diverge negativamente.

Passo 4

Para a parte à direita de x=1, temos
integrals^31x-1,dx =l[lnlvert x-1rvertr]s^3 =ln2-ln(s-1)
Quando sto1^+, ln(s-1)to -infty e portanto ln2-ln(s-1)to +infty. Esse limite também diverge.

Passo 5

Como pelo menos uma das partes (na verdade ambas) diverge para infinito em módulo, a integral imprópria não converge. Portanto ela é divergente.

Resposta

A integral diverge.

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