Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente ou divergente. E calcule aquelas que convergem.
(d)
(Dica: integral imprópria, ver 2(f) acima)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
pc de singularidade em
. Vamos usar a definição de integral imprópria, dividindo o intervalo em torno do ponto singular e calculando limites.
Passo 2
Separamos a integral em duas partes em função da descontinuidade em
:
Aqui usamos que uma integral imprópria num ponto interno precisa ser avaliada em cada lado.
Passo 3
Para a parte à esquerda de
, calculamos
Tomando
vem
, ou seja, esse limite diverge negativamente.
Passo 4
Para a parte à direita de
, temos
Quando
,
e portanto
. Esse limite também diverge.
Passo 5
Como pelo menos uma das partes (na verdade ambas) diverge para infinito em módulo, a integral imprópria não converge. Portanto ela é divergente.
Resposta
A integral diverge.