Considere a função
Sobre a transformada de Fourier
é correto afirmar que:
a) É descontínua em
.
b)
.
c)
d)
.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
a) É descontínua em
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função
que é igual ao cosseno de
quando
e igual a zero quando
. Nosso objetivo é analisar a transformada de Fourier dessa função,
, e verificar qual das alternativas dadas está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a transformada de Fourier de funções por partes e analisar as propriedades da função e da transformada resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier para uma função
:
No nosso caso,
é igual a
para
e zero para
. Isso significa que a integral se reduz ao intervalo de
a
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos usar a fórmula de Euler para o cosseno:
Substituindo na integral:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. A integral de
de
a
é:
Aplicando isso nas nossas integrais:
Passo 5
Simplificando mais, sabemos que
para qualquer inteiro
. No entanto,
nem sempre são inteiros, então precisamos analisar os pontos específicos mencionados nas alternativas.
Vamos verificar cada alternativa:
a) É descontínua em
.
Para ver se
é descontínua em
, analisamos o limite de
quando
se aproxima de 0. A função
é uma combinação de funções contínuas, então não há descontinuidades em
.
b)
.
Vamos calcular
:
Portanto, essa alternativa está incorreta.
c)
.
Calculando
:
Como
para inteiro
, mas
não é inteiro, precisamos calcular numericamente. Porém, isso não necessariamente resulta em zero. Portanto, essa alternativa está incorreta.
d)
.
Vamos calcular
:
Portanto,
, o que difere do que é afirmado na alternativa. Assim, está incorreta.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Como todas as alternativas a) a d) estão incorretas, essa é a correta.
Resposta
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.