Considere a função
f(x)=cc cos (x) & |x| <= pi 0 & |x|>pi
Sobre a transformada de Fourier F(omega)=mathscrF[f](omega) é correto afirmar que:
a) É descontínua em omega=0.
b) F(1)=lim omega 1 F(omega)=raiz2 pi2.
c) F(pi)=0
d) F(0)=lim omega 0 F(omega)=1.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função que é igual ao cosseno de quando e igual a zero quando . Nosso objetivo é analisar a transformada de Fourier dessa função, , e verificar qual das alternativas dadas está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a transformada de Fourier de funções por partes e analisar as propriedades da função e da transformada resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier para uma função F(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x dx :
F(omega) = integral-pi^pi cos(x) e^-i omega x dx
No nosso caso, é igual a para e zero para . Isso significa que a integral se reduz ao intervalo de a :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos usar a fórmula de Euler para o cosseno:
cos(x) = e^i x + e^-i x2
Substituindo na integral:
F(omega) = 12 integral-pi^pi ( e^i x + e^-i x ) e^-i omega x dx = 12 ( integral-pi^pi e^i (1 - omega) x dx + integral-pi^pi e^-i (1 + omega) x dx )

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. A integral de integral-pi^pi e^i k x dx = e^i k pi - e^-i k pii k = 2 sin(k pi)k de F(omega) = 12 ( 2 sin((1 - omega)pi)1 - omega + 2 sin((1 + omega)pi)1 + omega ) = sin((1 - omega)pi)1 - omega + sin((1 + omega)pi)1 + omega a é:
Aplicando isso nas nossas integrais:

Passo 5

Simplificando mais, sabemos que F(1) = sin(0)0 + sin(2pi)2 = 0 + 0 = 0 para qualquer inteiro F(pi) = sin((1 - pi)pi)1 - pi + sin((1 + pi)pi)1 + pi . No entanto, F(0) = integral-pi^pi cos(x) dx = 2 integral0^pi cos(x) dx = 2 [sin(x)]0^pi = 2 (0 - 0) = 0 nem sempre são inteiros, então precisamos analisar os pontos específicos mencionados nas alternativas.
Vamos verificar cada alternativa:
a) É descontínua em .
Para ver se é descontínua em , analisamos o limite de quando se aproxima de 0. A função é uma combinação de funções contínuas, então não há descontinuidades em .
b) .
Vamos calcular :
Portanto, essa alternativa está incorreta.
c) .
Calculando :
Como para inteiro , mas não é inteiro, precisamos calcular numericamente. Porém, isso não necessariamente resulta em zero. Portanto, essa alternativa está incorreta.
d) .
Vamos calcular :
Portanto, , o que difere do que é afirmado na alternativa. Assim, está incorreta.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Como todas as alternativas a) a d) estão incorretas, essa é a correta.

Resposta

e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

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