14 y^prime prime+3 y^prime+y=x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
14y''+3y'+y = x^2 - 2x
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares; vamos encontrar a solução geral somando a solução complementar (da parte homogênea) e uma solução particular (pela técnica de coeficientes indeterminados).

Passo 2

Multiplicamos a equação inteira por 4 para simplificar os coeficientes:
y'' + 12y' + 4y = 4x^2 - 8x
A equação homogênea associada é
y'' + 12y' + 4y = 0

Passo 3

Escrevemos a equação característica da homogênea:
r^2 + 12r + 4 = 0
Calculando as raízes,
r = -12 pm raiz144 - 162 = -12 pm raiz1282 = -6 pm 4raiz2
Logo a solução complementar é
yh(x) = C1 e^(-6+4raiz2)x + C2 e^(-6-4raiz2)x

Passo 4

Proponho um polinômio de grau 2 como solução particular:
yp(x) = A x^2 + Bx + C
Então
yp' = 2Ax + B, yp'' = 2A
Substituindo em y'' + 12y' + 4y = 4x^2 - 8x:
2A + 12(2Ax+B) + 4(Ax^2+Bx+C) =4A,x^2 + (24A+4B),x + (2A+12B+4C)
Igualando aos termos de 4x^2-8x obtemos o sistema
4A = 4, 24A + 4B = -8, 2A + 12B + 4C = 0,
cuja solução é
A=1, B=-8, C=472
Assim
yp(x) = x^2 - 8x + 472

Passo 5

A solução geral da equação dada é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^(-6+4raiz2)x + C2 e^(-6-4raiz2)x + x^2 - 8x + 472

Resposta

boxedy(x) = C1 e^(-6+4raiz2)x + C2 e^(-6-4raiz2)x + x^2 - 8x + 472

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