Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros (repare
que o método dos coeficientes indeterminados também é aplicável nesses casos):
y^prime prime-2 y^prime+y=e^2 t;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear não homogênea de segunda ordem
y'' - 2y' + y = e^2t
usando o método da variação dos parâmetros. Aqui o conteúdo é “equações diferenciais lineares com coeficientes constantes” e vamos precisar de:
  1. Resolver a equação homogênea associada.
  2. Encontrar duas soluções independentes y1,y2.
  3. Aplicar variação dos parâmetros para obter uma solução particular yp.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=1. Logo as soluções independentes são
y1(t) = e^t, y2(t) = t,e^t
e a solução geral homogênea é
yh(t) = C1,e^t + C2,t,e^t

Passo 3

No método da variação dos parâmetros buscamos
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
sujeito às condições auxiliares
u1'(t),y1(t) + u2'(t),y2(t) = 0, u1'(t),y1'(t) + u2'(t),y2'(t) = e^2t

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^t & t e^t e^t & (1+t)e^t = e^tcdot(1+t)e^t - t e^tcdot e^t = e^2t
As fórmulas dão
u1' = -y2,l(e^2tr)W = -t e^t;e^2te^2t = -,t,e^t, u2' = y1,l(e^2tr)W = e^t;e^2te^2t = e^t

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2:
u1(t) = integral -,t,e^t,dt = -l(t-1r)e^t, u2(t) = integral e^t,dt = e^t

Passo 6

Agora formamos
yp = u1,y1 + u2,y2 = l[-(t-1)e^tr],e^t + l[e^tr],(t,e^t) = -(t-1)e^2t + t,e^2t = e^2t

Passo 7

A solução geral da não homogênea é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1,e^t + C2,t,e^t + e^2t

Resposta

boxedy(t) = C1,e^t + C2,t,e^t + e^2t

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