Calcule os limites (caso existam)
lim (x, y) (0,0) 2 x^2-y^2x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
f(x,y)=2x^2-y^2x^2+2y^2
quando (x,y)to(0,0). Para decidir se esse limite existe, vamos usar a ideia de testar trajetórias: se diferentes caminhos até (0,0) dão resultados diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Parametrizamos uma família de retas passando pela origem por
y = m,x,
onde m é a “inclinação” da reta. Substituindo em f:
fl(x,mxr) = 2x^2 - (m x)^2x^2 + 2,(m x)^2 = 2x^2 - m^2x^2x^2 + 2m^2x^2 = x^2(2 - m^2)x^2(1 + 2m^2) = 2 - m^21 + 2m^2

Passo 3

Note que o valor dfrac2 - m^21 + 2m^2 não depende de x, mas varia com m. Isso significa que cada reta y=mx leva a um valor possivelmente distinto.

Passo 4

Por exemplo:
  • Se m=0 (reta y=0),
2 - m^21 + 2m^2 = 2 - 01 + 0 = 2
  • Se m=raiz2 (reta y=raiz2,x),
2 - (raiz2)^21 + 2(raiz2)^2 = 2 - 21 + 2cdot2 = 0
Como esses valores não coincidem, o limite depende da trajetória.

Passo 5

Quando o valor limite muda conforme a reta de aproximação, concluímos que o limite em duas variáveis não existe.

Resposta

O limite não existe.

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