Calcule as derivadas das funções abaixo. Não utilize a regra do quociente.
f(x)=2 x ln (raizx)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = 2,x,lnl(raizxr)
e pede a derivada f'(x). Para isso, vamos usar primeiro uma propriedade dos logaritmos para simplificar a expressão e, em seguida, aplicar a regra do produto na derivação.

Passo 2

Usamos a identidade
lnl(raizxr) = lnl(x^1/2r) = tfrac12,ln(x)

Passo 3

Substituindo em f(x) obtemos
f(x) = 2,x times tfrac12,ln(x) = x,ln(x)

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto para
f(x) = u(x),v(x),
com u(x)=x e v(x)=ln(x). A derivada é
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Aqui u'(x)=1 e v'(x)=1x. Logo,
f'(x) = 1cdotln(x) + xcdot1x = ln(x) + 1

Resposta

f'(x) = ln(x) + 1

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