& 14. y^{\prime}=x y{3}\left(1+x{2}\right)^{-1 / 2}, \quad y(0)=1 \

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx = x,y^3,(1+x^2)^-tfrac12
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo é EDO de separação de variáveis: vamos isolar y e x, integrar e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy^3 = x,dxraiz1+x^2

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y^-3,dy = integral x,dxraiz1+x^2
No lado esquerdo
integral y^-3,dy = -12,y^2
No lado direito, com u=1+x^2, du=2x,dx,
integral x,dxraiz1+x^2 = 12integral u^-tfrac12du = raizu = raiz1+x^2
Logo, após a integração,
-12,y^2 = raiz1+x^2 + C

Passo 4

Impondo y(0)=1 obtemos
-12cdot1^2 = raiz1+0^2 + C Longrightarrow -12 = 1 + C Longrightarrow C = -32
Substituindo C na expressão geral,
-12,y^2 = raiz1+x^2 - 32

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por -2 e invertendo,
1y^2 = 3 - 2raiz1+x^2 Longrightarrow y^2 = 13 - 2raiz1+x^2
Como y(0)=1>0, escolhemos a raiz positiva:
y(x) = 1raiz3 - 2raiz1+x^2

Resposta

y(x) = 1raiz3 - 2raiz1+x^2

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