Exercício 12. Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
e
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
sujeitos à restrição
Isso é um problema de otimização em uma curva fechada (o “semicírculo” elíptico), então existe máximo e mínimo. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para encontrar candidatos e depois verificar os pontos em que
.
Passo 2
Definimos
e escrevemos as condições de Lagrange:
isto é
junto com
Passo 3
Das equações de coordenadas segue
Dividindo a primeira pela segunda:
Como
, temos
Passo 4
Substituindo
em
obtém-se
e então
Logo os pontos críticos são
e
.
e
Passo 5
Calculamos
nesses pontos:
Passo 6
Faltam os pontos em que
. Da restrição
vem
e
que não supera nem fica abaixo dos valores
.
Resposta
O máximo de
em
é
, atingido em
, e o mínimo é
, atingido em
.