Exercício 12. Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
f(x, y)=x y e A=(x, y) in R^2 mid 4 x^2+y^2=1, y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede os extremos de f(x,y)=xy sujeitos à restrição
4x^2+y^2=1, y>=0
Isso é um problema de otimização em uma curva fechada (o “semicírculo” elíptico), então existe máximo e mínimo. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para encontrar candidatos e depois verificar os pontos em que y=0.

Passo 2

Definimos
g(x,y)=4x^2+y^2-1
e escrevemos as condições de Lagrange:
nabla f(x,y)=lambda,nabla g(x,y),
isto é
(y,,x)=lambda,(8x,,2y),
junto com
4x^2+y^2=1

Passo 3

Das equações de coordenadas segue
y=8lambda x, x=2lambda y
Dividindo a primeira pela segunda:
yx=8lambda x2lambda y Longrightarrow y^2=4x^2
Como y>=0, temos
y=2|x|

Passo 4

Substituindo y^2=4x^2 em 4x^2+y^2=1 obtém-se
8x^2=1 Longrightarrow x=pmraiz24,
e então
y=2|x|=raiz22
Logo os pontos críticos são
l(tfracraiz24,,tfracraiz22r)
e
l(-tfracraiz24,,tfracraiz22r).

Passo 5

Calculamos f nesses pontos:
fl(tfracraiz24,,tfracraiz22r) =raiz24cdotraiz22 =14,
fl(-tfracraiz24,,tfracraiz22r) =-raiz24cdotraiz22 =-14

Passo 6

Faltam os pontos em que y=0. Da restrição 4x^2=1 vem x=pmtfrac12 e
fl(pmtfrac12,0r)=0,
que não supera nem fica abaixo dos valores pmtfrac14.

Resposta

O máximo de f em A é tfrac14, atingido em l(tfracraiz24,,tfracraiz22r), e o mínimo é -tfrac14, atingido em l(-tfracraiz24,,tfracraiz22r).

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