Use o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(y z, x y, x z) e C é a fronteira do triângulo de vértices (1,0,2),((1,1,0) e (0,1,1), percorrido nessa ordem;

Passo 1

O enunciado pede
ointCvec Fcdot dvec r
sendo vec F(x,y,z)=(yz,;xy,;xz) e C a fronteira orientada do triângulo de vértices
A=(1,0,2), B=(1,1,0), C=(0,1,1)
percorrido na ordem Ato Bto Cto A.
Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaS(nablatimes vec F)cdot vec n,dS,
onde S é a superfície triangular e vec n é o vetor normal orientado conforme a regra da mão direita para a orientação de C.

Passo 2

Calculamos o rotacional de vec F=(P,Q,R) com P=yz, Q=xy, R=xz.
nablatimes vec F =l(tfracpartial Rpartial y-tfracpartial Qpartial z, tfracpartial Ppartial z-tfracpartial Rpartial x, tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr) =(0,;y-z,;y-z)

Passo 3

Parametrizamos o triângulo por
vec r(u,v) =A+u(B-A)+v(C-A) =(1,0,2)+u(0,1,-2)+v(-1,1,-1),
com (u,v) no domínio triangular
D=(u,v)mid u>=0, v>=0, u+v<=1
Então
vec ru=(0,1,-2), vec rv=(-1,1,-1),
e o vetor normal não unitário é
vec rutimes vec rv =(0,1,-2)times(-1,1,-1) =(1,2,1)

Passo 4

Na parametrização,
y=u+v, z=2-2u-v,
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(nablatimesvec F)l(vec r(u,v)r) =(0,,(u+v)-(2-2u-v),,(u+v)-(2-2u-v)) =(0,;3u+2v-2,;3u+2v-2)
O produto escalar com vec rutimesvec rv vale
(0,;3u+2v-2,;3u+2v-2)cdot(1,2,1) =2,(3u+2v-2)+(3u+2v-2) =3,(3u+2v-2) =9u+6v-6

Passo 5

Fazemos a dupla integral sobre D:
integral duplaD(9u+6v-6),dv,du =integralu=0^1integralv=0^1-u(9u+6v-6),dv,du
Primeiro em v:
integral0^1-u(9u+6v-6),dv =(9u-6)(1-u)+3(1-u)^2 =-6u^2+9u-3
Agora em u:
integral0^1(-6u^2+9u-3),du =l[-2u^3+tfrac92u^2-3ur]0^1 =-2+tfrac92-3 =-tfrac12

Resposta

ointCvec Fcdot dvec r=-tfrac12

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