Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função tal que , isto é, exiba uma função potencial associada ao campo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y,z)=l(z e^xz+y e^xy+6xr),vec i +l(x e^xy+z e^yzr),vec j +l(x e^xz+y e^yz-sin zr),vec k
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f=vec F. Em R^3 (domínio simplesmente conexo) basta mostrar que nablatimesvec F=vec0 e depois integrar componentes.

Passo 2

Calculamos nablatimesvec F. Denotando
P=z e^xz+y e^xy+6x, Q=x e^xy+z e^yz, R=x e^xz+y e^yz-sin z,
temos as componentes:
(nablatimesvec F)1 =partial Rpartial y-partial Qpartial z =l(e^yz+yz,e^yzr)-l(e^yz+yz,e^yzr)=0,
(nablatimesvec F)2 =partial Ppartial z-partial Rpartial x =l(e^xz+xz,e^xzr)-l(e^xz+xz,e^xzr)=0,
(nablatimesvec F)3 =partial Qpartial x-partial Ppartial y =l(e^xy+xy,e^xyr)-l(e^xy+xy,e^xyr)=0
Logo nablatimesvec F=vec0, ou seja, vec F é conservativo.

Passo 3

Integrando P=fx em x:
f(x,y,z)=integrall(z e^xz+y e^xy+6xr),dx =e^xz+e^xy+3x^2+g(y,z)

Passo 4

Impondo fy=Q:
fy = x e^xy+gy(y,z) ;overset!=;x e^xy+z e^yz Longrightarrow gy(y,z)=z e^yz ;Longrightarrow; g(y,z)=e^yz+h(z)
Assim
f(x,y,z)=e^xz+e^xy+3x^2+e^yz+h(z)

Passo 5

Impondo fz=R:
fz = x e^xz+y e^yz+h'(z) ;overset!=;x e^xz+y e^yz-sin z Longrightarrow h'(z)=-sin z ;Longrightarrow; h(z)=cos z + C
Desprezando a constante C, ficamos com a potencial abaixo.

Resposta

f(x,y,z)=e^xz+e^xy+e^yz+3x^2+cos z,
portanto vec F é conservativo e f é uma função potencial.

Exercícios relacionados