Determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-1} \cdot\left(3 x^{2}+6 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-1}\,\bigl(3x^{2}+6x\bigr).
Aqui vamos usar simplificação algébrica (cancelamento de fator) e a regra do quociente para obter f'(x).

Passo 2

Observe que
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
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\frac{x+1}{x^{2}-1} =\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} =\frac{1}{x-1},\quad x\neq -1.
Assim
f(x)=\frac{3x^{2}+6x}{x-1}.

Passo 3

Para derivar
f(x)=\frac{N(x)}{D(x)} \quad\text{com}\quad N(x)=3x^{2}+6x,\;D(x)=x-1,
usamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Aqui N'(x)=6x+6 e D'(x)=1, então
f'(x) =\frac{(6x+6)(x-1)-(3x^{2}+6x)\cdot1}{(x-1)^{2}}.

Passo 4

Expandindo o numerador:
(6x+6)(x-1)=6x^{2}-6x+6x-6=6x^{2}-6,
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(6x+6)(x-1)-(3x^{2}+6x) =(6x^{2}-6)-(3x^{2}+6x) =3x^{2}-6x-6.
Portanto
f'(x)=\frac{3x^{2}-6x-6}{(x-1)^{2}}.

Passo 5

Fatorando 3 no numerador:
f'(x) =\frac{3\,(x^{2}-2x-2)}{(x-1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3\,(x^{2}-2x-2)}{(x-1)^{2}}.

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