15.02 No caso de um movimento harmônico simples, usar a relação entre posição x e o tempo t para determinar t a partir de x e vice-versa.

Passo 1

O enunciado pede a relação entre a posição x e o tempo t para um movimento harmônico simples (MHS) e também sua inversa, ou seja, como obter t dado x. O conteúdo principal é a descrição padrão do MHS em termos de amplitude A, frequência angular omega e fase inicial varphi.

Passo 2

No MHS, a posição x em função do tempo t é dada por
x(t) = A cosl(omega t + varphir),
onde
A é a amplitude,
omega é a frequência angular,
varphi é a fase inicial.

Passo 3

Para inverter essa relação e encontrar t em função de x, primeiro isolamos o argumento do cosseno:
cosl(omega t + varphir) = xA,

Passo 4

Aplicando a função arco-cosseno e lembrando das múltiplas soluções periódicas ( 2pi n), obtemos as duas famílias de soluções:
omega t + varphi = arccos!l(tfracxAr) + 2pi n ou omega t + varphi = -,arccos!l(tfracxAr) + 2pi n,
com ninZ. Isolando t:
t = arccos!l(tfracxAr) - varphi + 2pi nomega ou t = -,arccos!l(tfracxAr) - varphi + 2pi nomega

Resposta

Relação direta (posição a partir do tempo):
x(t) = A cosl(omega t + varphir)
Relação inversa (tempo a partir da posição):
t = arccos!l(tfracxAr) - varphi + 2pi nomega ou t = -,arccos!l(tfracxAr) - varphi + 2pi nomega, ninZ

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