15.10 Considere a série de Fourier complexa
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\frac{2 \mathrm{i} n \pi x}{L}}, \quad-L / 2 \leq x \leq+L / 2
obtenha os c_{n} s\) e consequentemente a série, para \[f(x)= \begin{cases}0, & -L / 2 \leq x<0 ; \\\\ 1, & 0 \leq x \leq+L / 2 .\end{cases}
Sugestão: Como sempre, multiplique ambos os lados da série por \mathrm{e}^{-\frac{2 i m \pi x}{L}}\], integre termo a termo, aplique a ortogonalidade das \(\exp s etc…

Passo 1

O enunciado pede os coeficientes c_n\) da série de Fourier complexa \[f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\,\mathrm{e}^{\frac{2\pi i n x}{L}}, \quad -\tfrac{L}{2}\le x\le\tfrac{L}{2},
para a função em pedaços
f(x)= \begin{cases} 0,&-\tfrac{L}{2}\le x<0,\\\\ 1,&0\le x\le\tfrac{L}{2}. \end{cases}
O conteúdo é projeção em bases complexas, usando ortogonalidade de (\mathrm{e}^{2\pi i n x/L}].

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por \mathrm{e}^{-\frac{2\pi i m x}{L}} e integramos de -\tfrac{L}{2} a \tfrac{L}{2}. Pela ortogonalidade
\int_{-L/2}^{L/2}\mathrm{e}^{2\pi i(n-m)x/L}\,dx = L\,\delta_{nm},
segue
c_m =\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(x)\,\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i m x}{L}}\,dx.

Passo 3

Como f(x)=0 em \bigl[-\tfrac{L}{2},0\bigr) e f(x)=1 em \bigl[0,\tfrac{L}{2}\bigr], obtemos
c_n =\frac{1}{L}\int_{0}^{L/2}1\cdot\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n x}{L}}\,dx =\frac{1}{L}\int_{0}^{L/2}\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n x}{L}}\,dx.

Passo 4

Para n\neq0,
\int_{0}^{L/2}\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n x}{L}}\,dx =\left[\frac{\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n x}{L}}}{-\tfrac{2\pi i n}{L}}\right]_{0}^{L/2} =\frac{L}{-2\pi i n}\bigl(e^{-i\pi n}-1\bigr) =\frac{L}{2\pi i n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Logo
c_n =\frac{1}{L}\,\frac{L}{2\pi i n}\bigl(1-(-1)^n\bigr) =\frac{1-(-1)^n}{2\pi i n}.

Passo 5

Analisando casos especiais:
  • Para n=0:
c_0 =\frac{1}{L}\int_{0}^{L/2}dx =\frac{1}{2}.
  • Para n\neq0 par: (-1)^n=1 c_n=0.
  • Para n\neq0 ímpar: (-1)^n=-1
c_n =\frac{1-(-1)}{2\pi i n} =\frac{2}{2\pi i n} =\frac{1}{\pi i n} =-\frac{i}{\pi n}.

Passo 6

Portanto os coeficientes são
c_n= \begin{cases} \tfrac12,&n=0,\\[6pt] -\dfrac{i}{\pi n},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par e }n\neq0. \end{cases}í
A série de Fourier complexa fica
f(x) =\frac12\;+\sum_{\substack{n=-\infty\n\text{ ímpar}}}^{+\infty} \Bigl(-\frac{i}{\pi n}\Bigr)\, \mathrm{e}^{\frac{2\pi i n x}{L}}.]

Resposta

c_n=\begin{cases}\tfrac12,&n=0,\\[4pt] -\dfrac{i}{\pi n},&n\text{ ímpar},\\[4pt] 0,&n\text{ par},\;n\neq0.\end{cases}í
e
f(x) =\frac12 +\sum_{\substack{n=-\infty\n\text{ ímpar}}}^{+\infty} \Bigl(-\frac{i}{\pi n}\Bigr)\, \mathrm{e}^{\frac{2\pi i n x}{L}}.]

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