15.9 Sabendo que

\begin{array}{r} \int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen}(x) \mathrm{d} x=\pi \\\ \int_{0}^{\pi} x^{2} \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{3}}{3} \\\ \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2}(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \end{array}
utilize obrigatoriamente a desigualdade de Schwarz para obter uma desigualdade envolvendo \pi e \sqrt{6}. Simplifique ao máximo.

Passo 1

O enunciado fornece os valores das integrais
\int_{0}^{\pi}x\sin(x)\,dx=\pi,\quad \int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx=\frac{\pi^{3}}{3},\quad \int_{0}^{\pi}\sin^{2}(x)\,dx=\frac{\pi}{2},
e pede para usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Vamos aplicá-la ao produto das funções f(x)=x e g(x)=\sin(x) no intervalo [0,\pi].

Passo 2

A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que
\Bigl(\int_{0}^{\pi}f(x)\,g(x)\,dx\Bigr)^{2} \le \int_{0}^{\pi}f(x)^{2}\,dx \;\int_{0}^{\pi}g(x)^{2}\,dx.
Substituindo f(x)=x e g(x)=\sin(x), obtemos
\Bigl(\int_{0}^{\pi}x\sin(x)\,dx\Bigr)^{2} \le \int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx \;\int_{0}^{\pi}\sin^{2}(x)\,dx.

Passo 3

Agora usamos os valores dados:
\pi^{2} \le \frac{\pi^{3}}{3}\;\cdot\;\frac{\pi}{2} = \frac{\pi^{4}}{6}.

Passo 4

Reescrevendo a desigualdade:
\pi^{2}\le\frac{\pi^{4}}{6} \quad\Longrightarrow\quad 6\le\pi^{2} \quad\Longrightarrow\quad \pi\ge\sqrt{6}.

Resposta

\pi\ge\sqrt{6}

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