15.8 Utilizando-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz, é possível mostrar que
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{-|x|}}}{1+|x|} \mathrm{d} x \leq \alpha
onde \alpha é um número real positivo. Encontre \alpha.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{-|x|}}}{1+|x|}\,\mathrm{d}x \le \alpha
usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz. O conteúdo é justamente aplicar
\Bigl(\int fg\Bigr)^2 \le \int f^2 \,\int g^2.

Passo 2

Escolhemos
f(x)=\sqrt{\mathrm{e}^{-|x|}} \quad\text{e}\quad g(x)=\frac1{1+|x|},
de modo que o integrando seja f(x)\,g(x). Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x \le \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)^2\,\mathrm{d}x}\;\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)^2\,\mathrm{d}x}.

Passo 3

Calculamos
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)^2\,\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-|x|}\,\mathrm{d}x =2\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,\mathrm{d}x =2\bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{\infty} =2.

Passo 4

Agora
\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)^2\,\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{(1+|x|)^2}\,\mathrm{d}x =2\int_{0}^{\infty}\frac1{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x =2\bigl[-\tfrac1{1+x}\bigr]_{0}^{\infty} =2.

Passo 5

Portanto, pela Cauchy–Schwarz,
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sqrt{e^{-|x|}}}{1+|x|}\,\mathrm{d}x \le \sqrt{2}\,\sqrt{2} =2.
Logo \alpha=2.

Resposta

\alpha = 2)

Exercícios relacionados