Para cada tipo de onda de entrada (onda quadrada, senoidal, triangular) testada no experimento, derive a expressão teórica da tensão de saída do circuito derivativo. Utilize a fórmula fundamental:
V_{\text {out }}=-R_{f} C_{1} \frac{d V_{\text {in }}}{d t}

Passo 1

O enunciado pede para, usando a fórmula fundamental de um derivador
V_{\text{out}} = -R_{f}\,C_{1}\,\frac{dV_{\text{in}}}{dt},
determinar a expressão teórica de V_{\text{out}}(t) quando V_{\text{in}}(t) é
  1. uma onda quadrada de amplitude V_{p} e período T,
  2. uma onda senoidal de amplitude V_{m} e pulsação \omega,
  3. uma onda triangular de amplitude V_{p} e período T.

Passo 2

Para a onda senoidal definimos
V_{\text{in}}(t) = V_{m}\,\sin(\omega t).
Calculamos a derivada:
\frac{dV_{\text{in}}}{dt} = V_{m}\,\omega\,\cos(\omega t).
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V_{\text{out}}(t) = -R_{f}\,C_{1}\,\bigl(V_{m}\,\omega\,\cos(\omega t)\bigr) = -R_{f}\,C_{1}\,V_{m}\,\omega\,\cos(\omega t).

Passo 3

Para a onda quadrada de amplitude V_{p} (níveis +V_{p} e -V_{p}) e período T, V_{\text{in}}(t) é constante entre transições. A derivada é zero em regime permanente e gera impulsos ideais (del­ta de Dirac) nas bordas. De fato, a variação em cada borda é \Delta V = 2V_{p} em um tempo idealmente nulo, o que se modela por
\frac{dV_{\text{in}}}{dt} = 2V_{p}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\!\Bigl(t - n\frac{T}{2}\Bigr).
Assim,
V_{\text{out}}(t) = -R_{f}\,C_{1}\,\biggl[2V_{p}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\!\Bigl(t - n\frac{T}{2}\Bigr)\biggr] = -2V_{p}\,R_{f}\,C_{1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\!\Bigl(t - n\frac{T}{2}\Bigr).

Passo 4

Para a onda triangular de amplitude V_{p} e período T temos trechos lineares de subida e descida. Na subida (de -V_{p} a +V_{p} em tempo T/2) o coeficiente angular é
m = \frac{(+V_{p}) - (-V_{p})}{T/2} = \frac{2V_{p}}{T/2} = \frac{4V_{p}}{T}.
Na descida é -4V_{p}/T. Como a derivada de V_{\text{in}} é justamente esse coeficiente, o circuito gera
V_{\text{out}}(t) = -R_{f}\,C_{1}\times \begin{cases} +\dfrac{4V_{p}}{T}, & \text{na rampa de subida},\\[1em] -\dfrac{4V_{p}}{T}, & \text{na rampa de descida},\\[0.5em] 0, & \text{nos pontos de inversão (instantaneamente)}. \end{cases}ã]

Resposta

Senoidal:
V_{\text{out}}(t) = -R_{f}\,C_{1}\,V_{m}\,\omega\,\cos(\omega t).
Quadrada:
V_{\text{out}}(t) = -2V_{p}\,R_{f}\,C_{1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\!\Bigl(t - n\tfrac{T}{2}\Bigr).
Triangular:
V_{\text{out}}(t) = \begin{cases} -\,R_{f}\,C_{1}\,\dfrac{4V_{p}}{T}, & \text{subida},\\[0.75em] +\,R_{f}\,C_{1}\,\dfrac{4V_{p}}{T}, & \text{descida},\\[0.5em] 0, & \text{no instante de inversão}. \end{cases}ã]

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