15.10 Uma operação de torneamento é realizada com ângulo de saída de 10^{\circ}, avanço de 0,01 \mathrm{in} / rot e profundidade de corte =0,1 \mathrm{in}. Sabe-se que a tensão de escoamento por cisalhamento do material usinado é de 50.000 \mathrm{lbf} / \mathrm{in} 2 e a razão de espessura do cavaco medida após o corte é de 0,40 . Determine a força de corte e a força de avanço. Utilize o modelo de corte ortogonal como uma aproximação do processo de torneamento.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a força de corte e a força de avanço em uma operação de torneamento, usando o modelo de corte ortogonal como aproximação. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
Dados (retirados do enunciado):
  • Ângulo de saída (ângulo de pá / rake angle): \alpha = 10^\circ.
  • Avanço (espessura de corte antes do corte, por rotação): t_1 = 0,01\\ \mathrm{in}.
  • Profundidade de corte (largura de corte na direção perpendicular ao avanço, equivalente à largura w no modelo ortogonal): w = 0,1\\ \mathrm{in}.
  • Tensão de escoamento por cisalhamento do material (tensão de cisalhamento): \tau = 50{,}000\\ \mathrm{lbf/in^2}.
  • Razão de espessura do cavaco medida após o corte: r = 0{,}40. (Aqui interpretamos r como \,r = \dfrac{t_1}{t_2}\,, onde t_2 é a espessura do cavaco depois do corte.)
O enunciado pede:
  • Força de corte F_c (força tangencial).
  • Força de avanço F_f (força na direção do avanço).

Passo 2

Entender a geometria do corte e a relação entre as grandezas (aulas rápidas e intuitivas).
  • No corte ortogonal há um plano de cisalhamento inclinado que forma o ângulo \varphi com a direção do movimento de corte. O material antes do corte tem espessura t_1 (aqui igual ao avanço por rotação) e o cavaco formado tem espessura t_2. A razão r relaciona essas espessuras por
r=\frac{t_1}{t_2}.
  • Há uma relação geométrica bem conhecida (derivada da geometria do triângulo formado entre o plano de cisalhamento e as faces) que dá \varphi em função de r e do ângulo de pá \alpha:
\tan\varphi=\frac{r\cos\alpha}{1-r\sin\alpha}.
Vou usar essa relação para encontrar \varphi. Explico rapidamente: ela vem de projetar a espessura não cortada sobre o plano de cisalhamento e relacionar as componentes trigonométricas — não precisa decorar, basta lembrar que com r e \alpha dá para achar \varphi.

Passo 3

Cálculo do ângulo de cisalhamento \varphi.
Usando \alpha=10^\circ e r=0{,}40,
\begin{aligned} \cos\alpha &= \cos 10^\circ \approx 0{,}984807753,\\\ \sin\alpha &= \sin 10^\circ \approx 0{,}173648178. \end{aligned}
Substituo na fórmula:
\tan\varphi=\frac{0{,}40\cdot 0{,}984807753}{1-0{,}40\cdot 0{,}173648178} =\frac{0{,}393923101}{0{,}930540729}\approx 0{,}423548.
Logo
\varphi=\arctan(0{,}423548)\approx 22{,}99^\circ\approx 23^\circ.

Passo 4

Calcular a área do plano de cisalhamento \,A_s.
  • A área do plano de cisalhamento é a largura de corte w multiplicada pelo comprimento do plano de cisalhamento l_s.
  • Geometricamente, t_1 = l_s\sin\varphi, logo l_s=\dfrac{t_1}{\sin\varphi}.
  • Portanto
A_s = w\cdot l_s = w\cdot\frac{t_1}{\sin\varphi}.
Substituindo valores:
\sin\varphi=\sin 22{,}99^\circ\approx 0{,}390731128,
A_s = 0{,}1\cdot\frac{0{,}01}{0{,}390731128} = \frac{0{,}001}{0{,}390731128} \approx 0{,}0025587\\ \mathrm{in^2}.

Passo 5

Calcular a força de cisalhamento no plano (força resistente ao cisalhamento) F_s.
  • No modelo simples, a força de cisalhamento é a tensão de cisalhamento multiplicada pela área do plano de cisalhamento:
F_s=\tau\,A_s.
Substituindo:
F_s = 50{,}000\cdot 0{,}0025587 \approx 127{,}94\\ \mathrm{lbf}.
Explicação didática: pense em cortar um pedaço de tecido ao longo de um plano inclinado; quanto maior a área desse plano e maior a “força por unidade de área” necessária (a tensão), maior será a força total de cisalhamento.

Passo 6

Relacionar F_s com as forças sobre a ferramenta F_c e F_f.
  • Em cortes ortogonais sem considerar detalhadamente atrito adicional na face da ferramenta (aproximação clássica para exercícios elementares), as componentes da força no sistema da ferramenta podem ser obtidas projetando a força resultante no plano de cisalhamento nas direções de corte (tangencial) e avanço. Uma fórmula direta e comumente usada é:
F_c = F_s\frac{\cos(\varphi-\alpha)}{\cos\alpha},\qquad F_f = F_s\frac{\sin(\varphi-\alpha)}{\cos\alpha}.
  • Interpretação: essas fórmulas resultam de projetar as forças entre o plano de cisalhamento e a face da ferramenta e, finalmente, nas direções tangencial e de avanço. A divisão por \cos\alpha surge da orientação da face da ferramenta (rake).
Vou usar essas fórmulas para obter F_c e F_f.

Passo 7

Cálculo numérico de F_c e F_f.
Primeiro calcule os termos trigonométricos:
\varphi-\alpha \approx 22{,}99^\circ - 10^\circ = 12{,}99^\circ\approx 13^\circ,
\cos(\varphi-\alpha)=\cos 12{,}99^\circ\approx 0{,}974370065, \qquad \sin(\varphi-\alpha)=\sin 12{,}99^\circ\approx 0{,}224951054.
E \cos\alpha=\cos 10^\circ\approx 0{,}984807753.
Agora:
F_c = 127{,}94\cdot\frac{0{,}974370065}{0{,}984807753} \approx 127{,}94\cdot 0{,}989512 \approx 126{,}6\\ \mathrm{lbf},
F_f = 127{,}94\cdot\frac{0{,}224951054}{0{,}984807753} \approx 127{,}94\cdot 0{,}228481 \approx 29{,}24\\ \mathrm{lbf}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo (curto e amigo): os valores obtidos dão uma força de corte na ordem de algumas centenas de libras-força e uma força de avanço bem menor — isso faz sentido físico: a maior resistência está ligada ao corte tangencial do material; a força de avanço (radial/axial menor) costuma ser menor. Bom trabalho até aqui — você já consegue dar essa resolução passo a passo na prova.

Resposta

Força de corte F_c = 126{,}6\\ \mathrm{lbf}
Força de avanço F_f = 29{,}24\\ \mathrm{lbf}

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