15.9 Um aço de baixo-carbono com resistência à tração de 300 MPa e tensão de escoamento por cisalhamento de 220 MPa é usinado em uma operação de torneamento com velocidade de corte de 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O avanço é de 0,20 \mathrm{~mm} / \mathrm{rot} e a profundidade de corte é de 3,0 \mathrm{~mm}. O ângulo de saída da ferramenta é 5^{\circ} na direção do escoamento do cavaco. A razão de cavaco resultante é de 0,45 . Utilizando o modelo ortogonal como uma aproximação do torneamento, determine (a) o ângulo do plano de cisalhamento, (b) a força de cisalhamento, (c) a força de corte e a força de avanço.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Resistência à tração (não usada diretamente aqui) =300\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensão de escoamento por cisalhamento (tensão de cisalhamento efetiva) \tau =220\\ \mathrm{MPa}.
  • Velocidade de corte =3{,}0\\ \mathrm{m/s} (não será necessária nos cálculos pedidos).
  • Avanço (espessura de corte não cortada, uncut chip thickness) t_1=0{,}20\\ \mathrm{mm/rot}.
  • Profundidade de corte (largura de corte, sentido para dentro da página) b=3{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulo de saída da ferramenta (ângulo de face/rake) \alpha=5^\circ (positivo na direção do fluxo do cavaco).
  • Razão de cavaco r=0{,}45, definida como r=\dfrac{t_1}{t_2}, onde t_2 é a espessura do cavaco após o corte.
O enunciado pede:
(a) o ângulo do plano de cisalhamento \varphi;
(b) a força de cisalhamento F_s;
(c) a força de corte F_c e a força de avanço (thrust) F_f.
Observação: vou usar o modelo ortogonal de torneamento. A suposição padrão do modelo que vou usar é a relação geométrica entre razão de cavaco, ângulo de cisalhamento e ângulo de face (rake):
r=\frac{\cos\varphi}{\sin(\varphi-\alpha)}.
Também usarei que a área do plano de cisalhamento é
A_s = b\cdot \frac{t_1}{\sin(\varphi-\alpha)}
e que a força de cisalhamento é
F_s=\tau\,A_s.
Por equilíbrio vetorial do chip (modelo ortogonal), o vetor resultante das forças sobre o cavaco na ferramenta tem magnitude igual a F_s e forma ângulo \varphi com a direção do corte; assim as componentes horizontais e verticais (corte e avanço) obtêm-se por projeção:
F_c = F_s\cos\varphi,\qquad F_f = F_s\sin\varphi.

Passo 2

Calcular o ângulo do plano de cisalhamento \varphi a partir da razão de cavaco.
Explicação da fórmula usada: a relação geométrica entre a espessura inicial t_1, a espessura do cavaco t_2, o ângulo de cisalhamento \varphi e o ângulo de face \alpha (rake) no modelo ortogonal é
r=\frac{t_1}{t_2}=\frac{\cos\varphi}{\sin(\varphi-\alpha)}.
Essa fórmula vem da decomposição geométrica do triângulo formado pelo plano de cisalhamento, a superfície de peça e a face da ferramenta; não é preciso memorizar profundamente agora, mas é a relação padrão usada em torneamento ortogonal.
A partir dela isolamos \varphi. Reescrevendo:
r\sin(\varphi-\alpha)=\cos\varphi.
Expandindo \sin(\varphi-\alpha)=\sin\varphi\cos\alpha-\cos\varphi\sin\alpha:
r(\sin\varphi\cos\alpha-\cos\varphi\sin\alpha)=\cos\varphi.
Passando os termos com \cos\varphi para o mesmo lado e dividindo por \cos\varphi\cos\alpha obtemos a forma para \tan\varphi:
r\tan\varphi\cos\alpha = 1 + r\sin\alpha \quad\Rightarrow\quad \tan\varphi=\frac{1+r\sin\alpha}{r\cos\alpha}.
Agora substituo os números (notar que todos os ângulos em trigonometria uso em graus, calculando seno e cosseno):
r=0{,}45,\qquad \alpha=5^\circ.
Calculo intermediário:
\sin5^\circ\approx0{,}08716,\qquad \cos5^\circ\approx0{,}99619.
Logo
\tan\varphi=\frac{1+0{,}45\cdot0{,}08716}{0{,}45\cdot0{,}99619} =\frac{1+0{,}03922}{0{,}44829} =\frac{1{,}03922}{0{,}44829}\approx2{,}318.
Portanto
\varphi=\arctan(2{,}318)\approx66{,}7^\circ.

Passo 3

Calcular a área do plano de cisalhamento A_s e em seguida a força de cisalhamento F_s.
Relembrando a expressão para a área do plano de cisalhamento (geometria do triângulo do corte):
A_s = b\cdot\frac{t_1}{\sin(\varphi-\alpha)}.
Já temos b=3{,}0\\ \mathrm{mm}, t_1=0{,}20\\ \mathrm{mm}, \varphi\approx66{,}7^\circ e \alpha=5^\circ. Primeiro calcule \sin(\varphi-\alpha)=\sin(66{,}7^\circ-5^\circ)=\sin(61{,}7^\circ).
\sin61{,}7^\circ\approx0{,}878.
Então
A_s = 3{,}0\cdot\frac{0{,}20}{0{,}878}\\ \mathrm{mm}^2 = \frac{0{,}60}{0{,}878}\\ \mathrm{mm}^2 \approx0{,}683\\ \mathrm{mm}^2.
Agora a força de cisalhamento é
F_s=\tau\,A_s,
com \tau=220\\ \mathrm{MPa}=220\\ \mathrm{N/mm}^2. Portanto
F_s=220\cdot0{,}683\\ \mathrm{N}\approx150{,}3\\ \mathrm{N}.
Arredondando coerentemente: F_s\approx150\\ \mathrm{N}.
Comentário didático: a unidade funciona porque \mathrm{MPa}=\mathrm{N/mm}^2 e área está em \mathrm{mm}^2, então o produto dá Newtons.

Passo 4

Calcular as forças de corte F_c e de avanço F_f pela projeção da força de cisalhamento.
Explicação do raciocínio: no modelo ortogonal, o vetor resultante das forças na ferramenta (componentes corte e avanço) é oposto ao vetor de cisalhamento aplicado ao cavaco; geometricamente, isso faz com que as componentes horizontal e vertical do vetor F_s sejam as forças de corte e de avanço. Assim:
F_c = F_s\cos\varphi,\qquad F_f = F_s\sin\varphi.
Substituindo \varphi\approx66{,}7^\circ e F_s\approx150{,}3\\ \mathrm{N}:
\cos66{,}7^\circ\approx0{,}395,\qquad \sin66{,}7^\circ\approx0{,}919.
Logo
F_c = 150{,}3\cdot0{,}395\\ \mathrm{N}\approx59{,}3\\ \mathrm{N},
F_f = 150{,}3\cdot0{,}919\\ \mathrm{N}\approx137{,}9\\ \mathrm{N}.
Arredondando para duas algarismos relevantes: F_c\approx59\\ \mathrm{N} e F_f\approx138\\ \mathrm{N}.
Pequena observação intuitiva: como \varphi ficou relativamente grande (cerca de 67^\circ), a componente vertical (avanço/thrust) fica maior que a horizontal de corte — isso pode acontecer dependendo da geometria do corte e da razão de cavaco.

Passo 5

Resumo numérico com unidades e arredondamento final coerente:
  • \varphi\approx66{,}7^\circ.
  • F_s\approx150\\ \mathrm{N}.
  • F_c\approx59\\ \mathrm{N} e F_f\approx138\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) \varphi\approx66{,}7^\circ
(b) F_s\approx150\\ \mathrm{N}
(c) F_c\approx59\\ \mathrm{N},\quad F_f\approx138\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados