15.8 Uma barra de aço de carbono com 7,64 in de diâmetro tem resistência à tração de 65.000 \mathrm{lbf} / \mathrm{in} 2 e tensão de escoamento por cisalhamento de 45.000 \mathrm{lbf} / \mathrm{in} 2. O diâmetro é reduzido utilizando uma operação de torneamento com velocidade de corte de 400 \mathrm{ft} / \mathrm{min}. O avanço é de 0,011 \mathrm{in} / \mathrm{rot} e a profundidade de corte é 0,120 \mathrm{in}. O ângulo de saída da ferramenta na direção do escoamento do cavaco é 13^{\circ}. As condições de corte resultam em uma razão de cavaco de 0,52 . Utilizando o modelo ortogonal como uma aproximação do torneamento, determine (a) o ângulo do plano de cisalhamento, (b) a força de cisalhamento, (c) a força de corte e força de avanço e (d) o coeficiente de atrito entre a ferramenta e o cavaco.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Diâmetro da barra: 7,64\\ \mathrm{in}. (não entra diretamente nas contas abaixo)
  • Resistência à tração (tensão normal usada como \sigma): \sigma=65{,}000\\ \mathrm{lbf/in}^2.
  • Tensão de escoamento por cisalhamento (usar como tensão de cisalhamento \tau): \tau=45{,}000\\ \mathrm{lbf/in}^2.
  • Velocidade de corte: 400\\ \mathrm{ft/min} (não é necessária nas contas seguintes).
  • Avanço (espessura não deformada do cavaco): t_1=0,011\\ \mathrm{in/rot}. (no modelo ortogonal, t_1 é a espessura do corte antes da deformação)
  • Profundidade de corte (largura do corte, ou largura da face): w=0,120\\ \mathrm{in}.
  • Ângulo de saída da ferramenta (rake angle): \alpha=13^\circ.
  • Razão de cavaco (chip thickness ratio): r=0,52. (usar a definição usual r=\dfrac{t_1}{t_2}, onde t_2 é a espessura do cavaco deformado)
O enunciado pede:
(a) o ângulo do plano de cisalhamento \varphi;
(b) a força de cisalhamento F_s;
(c) a força de corte F_c e a força de avanço F_f;
(d) o coeficiente de atrito \mu entre ferramenta e cavaco.

Passo 2

Primeiro vamos relacionar a razão de cavaco r=\dfrac{t_1}{t_2} com o ângulo de cisalhamento \varphi. A fórmula geométrica padrão (modelo ortogonal) é:
\tan\varphi=\dfrac{r\cos\alpha}{1-r\sin\alpha},
onde:
  • \varphi é o ângulo do plano de cisalhamento (medido a partir da superfície de corte),
  • \alpha é o ângulo de pente (rake angle),
  • r=\dfrac{t_1}{t_2} é a razão de cavaco.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos t_2 (apenas para referência):
t_2=\dfrac{t_1}{r}=\dfrac{0,011}{0,52}=0,02115\\ \mathrm{in}\\ (\text{aprox.}).
Calculemos \varphi:
\tan\varphi=\dfrac{0,52\cos13^\circ}{1-0,52\sin13^\circ}.
Avaliações trigonométricas (aprox.):
\cos13^\circ\approx0,97437, \sin13^\circ\approx0,22495.
Portanto
\tan\varphi=\dfrac{0,52\cdot0,97437}{1-0,52\cdot0,22495}\approx\dfrac{0,50667}{0,88303}\approx0,5739.
Logo
\varphi=\arctan(0,5739)\approx29{,}9^\circ.

Passo 3

Agora calculamos a área do plano de cisalhamento A_s e a força de cisalhamento F_s.
Geometricamente, o comprimento do plano de cisalhamento é \dfrac{t_1}{\sin\varphi}. A área do plano (para a largura w) é:
A_s = w\cdot\frac{t_1}{\sin\varphi}.
Substituindo w=0,120\\ \mathrm{in}, t_1=0,011\\ \mathrm{in} e \sin\varphi (com \varphi\approx29{,}9^\circ, \sin\varphi\approx0,4985):
A_s = 0,120\cdot\frac{0,011}{0,4985}\approx0,00265\\ \mathrm{in}^2.
A força de cisalhamento é a tensão de cisalhamento multiplicada pela área:
F_s=\tau\,A_s = 45{,}000\\ \mathrm{lbf/in}^2\times 0,00265\\ \mathrm{in}^2\approx119{,}2\\ \mathrm{lbf}.
Observação didática rápida: aqui usei \tau como a tensão média de cisalhamento atuando no plano; essa é a simplificação usual no modelo ortogonal.

Passo 4

Precisamos agora do esforço normal no plano de cisalhamento N_s. Como o enunciado fornece uma resistência à tração (tensão normal) \sigma=65{,}000\\ \mathrm{lbf/in}^2, adotamos a aproximação simples de que a tensão normal média no plano é \sigma. Assim:
N_s=\sigma\,A_s = 65{,}000\\ \mathrm{lbf/in}^2\times 0,00265\\ \mathrm{in}^2\approx172{,}1\\ \mathrm{lbf}.
Comentário: fiz essa aproximação porque o exercício deu explicitamente \sigma e \tau; essa é a hipótese típica para estimativas no modelo elementar (usar as tensões dadas como médias no plano de cisalhamento).

Passo 5

Agora vamos usar o equilíbrio de forças (vetorial) para obter as forças no sistema da ferramenta (força de corte F_c na direção tangencial e força de avanço F_f na direção normal ao corte). Do equilíbrio linear (projeção das forças do plano de cisalhamento nas direções do corte) obtemos as fórmulas:
F_c = F_s\cos\varphi - N_s\sin\varphi,
F_f = F_s\sin\varphi + N_s\cos\varphi.
Essas fórmulas vêm de projetar sobre os eixos de corte (x horizontal, y vertical) os vetores de força sobre o plano de cisalhamento (força de cisalhamento e normal ao plano).
Substituindo os valores numéricos ( F_s\approx119{,}2\\ \mathrm{lbf}, N_s\approx172{,}1\\ \mathrm{lbf}, \cos\varphi\approx0,867, \sin\varphi\approx0,4985):
F_c \approx 119{,}2\cdot0,867 - 172{,}1\cdot0,4985 \approx 17{,}6\\ \mathrm{lbf},
F_f \approx 119{,}2\cdot0,4985 + 172{,}1\cdot0,867 \approx 208{,}7\\ \mathrm{lbf}.
Interpretação: F_c é a componente tangencial (corte) e F_f a componente de avanço (ou empuxo); note que neste caso a componente normal ficou relativamente grande porque N_s é grande.

Passo 6

Finalmente, para obter o coeficiente de atrito \mu\) entre ferramenta e cavaco, primeiro encontramos a força de atrito \(F\) e a força normal \(N\) na face da ferramenta a partir de \(F_c\) e \(F_f\). A relação entre essas grandezas (projeção das forças na direcção da face da ferramenta com rake angle \(\alpha\)) é solucionada pelo sistema linear \[\begin{cases} F\cos\alpha - N\sin\alpha = F_c,\\[6pt] F\sin\alpha + N\cos\alpha = F_f. \end{cases}
Resolvendo para F\] e \(N (fórmulas obtidas isolando F e N):
F = F_c\cos\alpha + F_f\sin\alpha, \qquad N = -F_c\sin\alpha + F_f\cos\alpha.
Substituindo \alpha=13^\circ ( \cos13^\circ\approx0,97437,\\ \sin13^\circ\approx0,22495) e os valores de F_c e F_f:
F \approx 17{,}6\cdot0,97437 + 208{,}7\cdot0,22495 \approx 64{,}0\\ \mathrm{lbf},
N \approx -17{,}6\cdot0,22495 + 208{,}7\cdot0,97437 \approx 199{,}4\\ \mathrm{lbf}.
O coeficiente de atrito é
\mu=\dfrac{F}{N}\approx\dfrac{64{,}0}{199{,}4}\approx0{,}321.]

Resposta

(a) \varphi\approx29{,}9^\circ
(b) F_s\approx119{,}2\\ \mathrm{lbf}
(c) F_c\approx17{,}6\\ \mathrm{lbf}
F_f\approx208{,}7\\ \mathrm{lbf}
(d) \mu\approx0{,}321

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