15.149 Dois discos
e
estāo montados num eixo de comprimento
e rolam sem escorregar num plano horizontal. Sabendo que o eixo gira com velocidade angular constante
, determine (a) a velocidade e (b) a aceleração, angulares do disco
.
Passo 1
O enunciado: dois discos
e
estão montados nas extremidades de um eixo (um bastão rígido) de comprimento
. O conjunto rola sem escorregar sobre um plano horizontal. O eixo gira com velocidade angular constante
. Pede-se:
(a) a velocidade angular do disco ;
(b) a aceleração angular do disco .
(a) a velocidade angular do disco
(b) a aceleração angular do disco
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Distância do ponto médio do eixo até o centro de cada disco é
(porque o eixo tem comprimento ). - O eixo gira com velocidade angular constante
em torno de um eixo vertical que passa pelo ponto médio (essa é a interpretação física consistente com “o eixo gira” e com o enunciado de que os discos rolam sobre o plano). - Os discos rolam sem escorregar sobre o plano (condição de não deslizamento).
- Precisamos determinar vetorialmente (direção e módulo) a velocidade angular e a aceleração angular do disco
.
Passo 2
Escolha de sistema de referência e posições:
- Coloco a origem no ponto médio
do eixo. - Eixo
vertical para cima: . - Eixo
inicialmente apontando para o centro do disco na posição inicial (isto é, no instante o centro de está em ). - Eixo
forma o triângulo direto com e .
Defino o versor que indica a direção do eixo (do ponto médio ao centro de
) como
. No instante
esse versor gira em torno de
com velocidade angular
, então
Passo 3
Velocidade do centro do disco
:
- Como o centro de
descreve uma circunferência de raio em torno de com velocidade angular , a velocidade linear do centro (em módulo) é
- A direção de
é tangencial à trajetória, isto é, no versor .
Passo 4
Condição de rolamento sem deslizamento (aula rápida e uso):
- Para um disco de raio
que rola sem deslizar sobre o plano, a velocidade do centro e a velocidade angular de giro do disco em torno de seu próprio eixo (denotarei por ) satisfazem a relação
Explicação: num ponto de contato sem deslizamento, a velocidade do ponto do disco que toca o plano é nula; a velocidade desse ponto é a soma da velocidade do centro (translação) e da velocidade relativa por rotação (que vale
no sentido apropriado), daí
.
Aplicando ao nosso caso:
Portanto, o disco está girando em torno do seu próprio eixo com velocidade angular de módulo
.
Passo 5
Construção do vetor velocidade angular total do disco
(explicação física e formal):
- O disco sofre duas rotações que se combinam:
- Rotação do conjunto em torno do eixo vertical em
com velocidade angular . Essa é a rotação do eixo inteiro (o disco como corpo rígido gira em torno de ). - Rotação do disco em torno do seu próprio eixo (o eixo local
) com velocidade angular (devido ao rolamento).
- Rotação do conjunto em torno do eixo vertical em
- Para um corpo rígido, quando há uma rotação do corpo como um todo mais uma rotação relativa em torno de um eixo fixo no corpo, a velocidade angular total é a soma vetorial das contribuições (porque rotações pequenas se somam vetorialmente em termos de vetor velocidade angular).
- Logo o vetor velocidade angular do disco
é
Passo 6
Escrevendo
em componentes explícitas usando
:
Cálculo do módulo (opcional para entendimento):
pois as duas parcelas são ortogonais (
é perpendicular a
).
Passo 7
Cálculo da aceleração angular
:
- A primeira parcela
é constante no tempo (vetor fixo), pois é constante e também. - A segunda parcela é
com constante, portanto
- Agora uma pequena lição: se um versor horizontal
gira em torno de com velocidade angular , sua derivada temporal é dada por
Isso é uma fórmula padrão: a derivada de um vetor que gira com velocidade angular
é
(vetor). Aqui
.
Portanto
Passo 8
Expressão vetorial em componentes e interpretação:
- Usando
, temos
logo
- Módulo e direção:
. A aceleração angular aponta na direção tangencial à trajetória do centro (isto é, na direção ), com sentido dado pela convenção do produto vetorial. Fisicamente, mesmo que o módulo da rotação total seja constante, a orientação do eixo do disco muda, originando essa aceleração angular.
Resposta
(a)
\
(b)
(b)