15.149 Dois discos A e B estāo montados num eixo de comprimento 2 R e rolam sem escorregar num plano horizontal. Sabendo que o eixo gira com velocidade angular constante \omega_{1}, determine (a) a velocidade e (b) a aceleração, angulares do disco A.

Passo 1

O enunciado: dois discos A e B estão montados nas extremidades de um eixo (um bastão rígido) de comprimento 2R. O conjunto rola sem escorregar sobre um plano horizontal. O eixo gira com velocidade angular constante \omega_{1}. Pede-se:
(a) a velocidade angular do disco A;
(b) a aceleração angular do disco A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Distância do ponto médio do eixo até o centro de cada disco é R (porque o eixo tem comprimento 2R).
  • O eixo gira com velocidade angular constante \omega_{1} em torno de um eixo vertical que passa pelo ponto médio (essa é a interpretação física consistente com “o eixo gira” e com o enunciado de que os discos rolam sobre o plano).
  • Os discos rolam sem escorregar sobre o plano (condição de não deslizamento).
  • Precisamos determinar vetorialmente (direção e módulo) a velocidade angular e a aceleração angular do disco A.

Passo 2

Escolha de sistema de referência e posições:
  • Coloco a origem no ponto médio O do eixo.
  • Eixo z vertical para cima: \mathbf{k}.
  • Eixo x inicialmente apontando para o centro do disco A na posição inicial (isto é, no instante t=0 o centro de A está em (R,0,0)).
  • Eixo y forma o triângulo direto com x e z.
Defino o versor que indica a direção do eixo (do ponto médio ao centro de A) como \mathbf{e}_r(t). No instante t esse versor gira em torno de \mathbf{k} com velocidade angular \omega_{1}, então
\mathbf{e}_r(t)=\cos(\omega_{1} t)\,\mathbf{i}+\sin(\omega_{1} t)\,\mathbf{j}.

Passo 3

Velocidade do centro do disco A:
  • Como o centro de A descreve uma circunferência de raio R em torno de O com velocidade angular \omega_{1}, a velocidade linear do centro (em módulo) é
v_C=\omega_{1}R.
  • A direção de v_C é tangencial à trajetória, isto é, no versor \boldsymbol{\hat{\theta}}(t)=\mathbf{k}\times\mathbf{e}_r(t).

Passo 4

Condição de rolamento sem deslizamento (aula rápida e uso):
  • Para um disco de raio R que rola sem deslizar sobre o plano, a velocidade do centro v_C e a velocidade angular de giro do disco em torno de seu próprio eixo (denotarei por \omega_{\text{spin}}) satisfazem a relação
v_C = R\,\omega_{\text{spin}}.
Explicação: num ponto de contato sem deslizamento, a velocidade do ponto do disco que toca o plano é nula; a velocidade desse ponto é a soma da velocidade do centro (translação) e da velocidade relativa por rotação (que vale -\omega_{\text{spin}}R no sentido apropriado), daí v_C=R\omega_{\text{spin}}.
Aplicando ao nosso caso:
\omega_{\text{spin}}=\frac{v_C}{R}=\frac{\omega_{1}R}{R}=\omega_{1}.
Portanto, o disco está girando em torno do seu próprio eixo com velocidade angular de módulo \omega_{1}.

Passo 5

Construção do vetor velocidade angular total do disco A (explicação física e formal):
  • O disco sofre duas rotações que se combinam:
    1. Rotação do conjunto em torno do eixo vertical em O com velocidade angular \omega_{1}\,\mathbf{k}. Essa é a rotação do eixo inteiro (o disco como corpo rígido gira em torno de O).
    2. Rotação do disco em torno do seu próprio eixo (o eixo local \mathbf{e}_r(t)) com velocidade angular \omega_{\text{spin}}=\omega_{1} (devido ao rolamento).
  • Para um corpo rígido, quando há uma rotação do corpo como um todo mais uma rotação relativa em torno de um eixo fixo no corpo, a velocidade angular total é a soma vetorial das contribuições (porque rotações pequenas se somam vetorialmente em termos de vetor velocidade angular).
  • Logo o vetor velocidade angular do disco A é
\boldsymbol{\omega}_A(t)=\omega_{1}\,\mathbf{k}+\omega_{1}\,\mathbf{e}_r(t).

Passo 6

Escrevendo \boldsymbol{\omega}_A em componentes explícitas usando \mathbf{e}_r(t):
\boldsymbol{\omega}_A(t)=\omega_{1}\,\mathbf{k}+\omega_{1}\big(\cos(\omega_{1} t)\,\mathbf{i}+\sin(\omega_{1} t)\,\mathbf{j}\big).
Cálculo do módulo (opcional para entendimento):
\|\boldsymbol{\omega}_A\|=\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{1}^{2}}=\omega_{1}\sqrt{2},
pois as duas parcelas são ortogonais ( \mathbf{k} é perpendicular a \mathbf{e}_r).

Passo 7

Cálculo da aceleração angular \boldsymbol{\alpha}_A=\dfrac{d\boldsymbol{\omega}_A}{dt}:
  • A primeira parcela \omega_{1}\,\mathbf{k} é constante no tempo (vetor fixo), pois \omega_{1} é constante e \mathbf{k} também.
  • A segunda parcela é \omega_{1}\,\mathbf{e}_r(t) com \omega_{1} constante, portanto
\boldsymbol{\alpha}_A(t)=\frac{d\boldsymbol{\omega}_A}{dt} = \omega_{1}\,\frac{d\mathbf{e}_r(t)}{dt}.
  • Agora uma pequena lição: se um versor horizontal \mathbf{e}_r(t) gira em torno de \mathbf{k} com velocidade angular \omega_{1}, sua derivada temporal é dada por
\frac{d\mathbf{e}_r}{dt}=\omega_{1}\,\mathbf{k}\times\mathbf{e}_r(t).
Isso é uma fórmula padrão: a derivada de um vetor que gira com velocidade angular \boldsymbol{\Omega} é \boldsymbol{\Omega}\times (vetor). Aqui \boldsymbol{\Omega}=\omega_{1}\mathbf{k}.
Portanto
\boldsymbol{\alpha}_A(t)=\omega_{1}\big(\omega_{1}\,\mathbf{k}\times\mathbf{e}_r(t)\big)=\omega_{1}^{2}\,\mathbf{k}\times\mathbf{e}_r(t).

Passo 8

Expressão vetorial em componentes e interpretação:
  • Usando \mathbf{e}_r(t)=\cos(\omega_{1} t)\,\mathbf{i}+\sin(\omega_{1} t)\,\mathbf{j}, temos
\mathbf{k}\times\mathbf{e}_r(t) = -\sin(\omega_{1} t)\,\mathbf{i}+\cos(\omega_{1} t)\,\mathbf{j},
logo
\boldsymbol{\alpha}_A(t)=\omega_{1}^{2}\big(-\sin(\omega_{1} t)\,\mathbf{i}+\cos(\omega_{1} t)\,\mathbf{j}\big).
  • Módulo e direção: \|\boldsymbol{\alpha}_A\|=\omega_{1}^{2}. A aceleração angular aponta na direção tangencial à trajetória do centro (isto é, na direção \mathbf{k}\times\mathbf{e}_r), com sentido dado pela convenção do produto vetorial. Fisicamente, mesmo que o módulo da rotação total seja constante, a orientação do eixo do disco muda, originando essa aceleração angular.

Resposta

(a) \displaystyle \boldsymbol{\omega}_A(t)=\omega_{1}\,\mathbf{k}+\omega_{1}\big(\cos(\omega_{1} t)\,\mathbf{i}+\sin(\omega_{1} t)\,\mathbf{j}\big) \
(b) \displaystyle \boldsymbol{\alpha}_A(t)=\omega_{1}^{2}\big(-\sin(\omega_{1} t)\,\mathbf{i}+\cos(\omega_{1} t)\,\mathbf{j}\big)=\omega_{1}^{2}\,\mathbf{k}\times\mathbf{e}_r(t)

Exercícios relacionados