15.163 O cone menor rola sem escorregar na superfície interna do cone maior que está fixo. Denotando por \omega, a velocidade angular constante do eixo O B em movimento em torno do eixo y, determine em termos de \omega_{1}, \beta, e \gamma, (a) a velocidade angular de spin do cone em torno de O B, (b) a velocidade angular total do cone e (c) a sua aceleração.*

Passo 1

O enunciado (como você enviou) diz: “O cone menor rola sem escorregar na superfície interna do cone maior que está fixo. Denotando por \omega a velocidade angular constante do eixo OB em movimento em torno do eixo y, determine em termos de \omega_{1}, \beta, e \gamma, (a) a velocidade angular de spin do cone em torno de OB, (b) a velocidade angular total do cone e (c) a sua aceleração.”
Informações explícitas que o enunciado fornece:
  • Há um cone móvel (menor) que rola sem escorregar na superfície interna de um cone maior, este último fixo.
  • O eixo do cone móvel é OB e ele descreve um movimento de rotação em torno do eixo vertical y com velocidade angular constante (o enunciado cita \omega e também \omega_1; existe ambiguidade entre esses símbolos).
  • São mencionados os ângulos \beta e \gamma, que aparentemente descrevem geometrias angulares do sistema (por exemplo, semiângulo do cone e inclinação do eixo), mas o enunciado que você mandou não traz a figura nem uma definição explícita desses ângulos.
O que o enunciado pede:
  • (a) Encontrar a velocidade angular de spin do cone em torno do seu eixo OB (vou chamar isso de \omega_s).
  • (b) Encontrar a velocidade angular total do cone (vetor \vec{\Omega}, em termos de módulo e/ou componentes).
  • (c) Determinar a sua aceleração (normalmente a aceleração angular \dot{\vec{\Omega}} ou a aceleração linear de pontos relevantes).
Observação importante: o enunciado depende de definições geométricas (posições relativas, sinais, quais ângulos correspondem ao que, e a localização da linha de contato) que costumam estar na figura do problema. Sem essa figura ou uma descrição precisa de como \beta e \gamma estão definidos, não é possível determinar univocamente as expressões pedidas. Vou explicar por que abaixo.

Passo 2

Por que a figura/definições são necessárias (explicação didática e sem pular etapas):
  • Para aplicar a condição “rola sem escorregar” precisamos escrever a condição de velocidade relativa nula na linha (ou ponto) de contato entre os dois cones. Essa condição é uma igualdade vetorial que envolve:
    • o vetor posição \vec{r}_c do ponto de contato medido a partir de um ponto de referência (aqui normalmente o vértice O),
    • o vetor velocidade resultante naquele ponto, dado por \vec{v}_c=\vec{\Omega}\times\vec{r}_c quando a rotação é descrita por um vetor \vec{\Omega} (velocidade angular total do corpo),
    • e a condição da superfície fixa (no cone maior) que impõe que a velocidade do ponto de contato da superfície móvel deve ser igual à velocidade da superfície fixa (zero, se o cone maior está fixo).
  • Para escrever \vec{\Omega} de forma conveniente usamos decomposição: a velocidade angular total do cone móvel pode ser escrita como soma do spin em torno de seu eixo mais a rotação (précessão) do próprio eixo em torno do eixo vertical,
    ou seja, simbolicamente \vec{\Omega}=\omega_s\,\hat{e}_{OB}+\omega_1\,\hat{e}_y,onde \hat{e}_{OB} é o versor ao longo do eixo do cone (direção de OB) e \hat{e}_y é o versor vertical.
  • Para transformar a condição vetorial em uma relação escalar que determine \omega_s em função de \omega_1,\beta,\gamma precisamos conhecer:
    1. a orientação de \hat{e}_{OB} em relação a \hat{e}_y (isto é, qual é \gamma exatamente: ângulo entre OB e y?),
    2. a posição do ponto de contato \vec{r}_c — em particular sua direção e módulo relativos ao referencial em O (essa direção depende do semiângulo do cone móvel, que normalmente é \beta, e da geometria de interseção entre os dois cones),
    3. se a linha de contato é uma circunferência inteira ou se consideramos só o ponto instantâneo; a expressão final para \omega_s surge ao projetar a equação vetorial em direções independentes (normal e tangencial) — para isso precisamos da normal da superfície no ponto de contato, que é definida pela geometria (ou seja, pela figura).
  • Conclusão: sem a figura (ou uma descrição geométrica precisa que diga o que são \beta e \gamma e onde fica \vec{r}_c) não temos como escrever explicitamente a expressão resultante.

Passo 3

O método correto (passo a passo didático) que eu aplicaria se a figura/definições estivessem disponíveis — para você poder aplicar na prova
  1. Definir os versores e ângulos:
    • Identificar e desenhar o eixo y (vertical), o eixo do cone móvel OB e marcar \gamma como o ângulo entre \hat{e}_{OB} e \hat{e}_y (se essa for a definição do enunciado).
    • Identificar o semiângulo do cone móvel e fixar se esse semiângulo é \beta (ângulo entre geratriz e eixo do cone).
  2. Escrever o vetor velocidade angular total: \vec{\Omega}=\omega_s\,\hat{e}_{OB}+\omega_1\,\hat{e}_y.Explique: \omega_s é o spin em torno do eixo do cone (o que queremos achar); \omega_1 é a rotação do eixo OB em torno de y.
  3. Escrever a posição do ponto de contato \vec{r}_c em coordenadas adequadas (por exemplo, usar um sistema com origem em O; expressar \vec{r}_c em termos do raio da circunferência de contato R e dos ângulos \beta,\gamma). É aqui que a figura é crucial: a direção de \vec{r}_c depende de como os cones se intersectam.
  4. Aplicar condição de não deslizamento: a velocidade do ponto de contato na superfície móvel deve ser igual à velocidade do ponto correspondente na superfície fixa (zero). Assim: \vec{v}_c=\vec{\Omega}\times\vec{r}_c=\vec{0}.Observação didática: essa é uma equação vetorial; projetando-a em duas direções ortogonais no plano tangente do contato (ou usando a componente normal) obtemos relações escalares.
  5. Resolver para \omega_s: a projeção da equação anterior fornece uma relação linear entre \omega_s e \omega_1, cujo coeficiente envolve senos e cossenos dos ângulos \beta,\gamma e possivelmente o fator geométrico R. Essa é a etapa onde, com a figura, você substituiria as expressões de \vec{r}_c e de \hat{e}_{OB} e isolaria \omega_s.
  6. Obter \vec{\Omega} explícito substituindo \omega_s encontrado e escrever módulo e componentes (resposta do item (b)).
  7. Para a aceleração (item (c)): se \omega_1 for constante (o enunciado diz velocidade angular constante do eixo OB em torno de y), então \dot{\omega}_1=0. A aceleração angular do corpo é \dot{\vec{\Omega}}=\dot{\omega}_s\,\hat{e}_{OB}+\omega_s\,\dot{\hat{e}}_{OB}+\dot{\omega}_1\,\hat{e}_y+\omega_1\,\dot{\hat{e}}_y.Explicação: mesmo que \hat{e}_y seja fixo, \hat{e}_{OB} gira com velocidade \omega_1 e portanto tem derivada temporal não nula; assim aparece o termo \omega_s\,\dot{\hat{e}}_{OB}. Com \omega_1 constante, \dot{\omega}_1=0. Para avaliar \dot{\hat{e}}_{OB} usamos que a taxa de variação de um versor que gira é igual ao produto vetorial entre a velocidade angular dessa rotação e o próprio versor (ou expressar \dot{\hat{e}}_{OB}=\omega_1\,\hat{e}_y\times\hat{e}_{OB}). Isso leva a expressões para \dot{\vec{\Omega}} em termos de \omega_1,\omega_s e ângulos — novamente, os coeficientes trigonométricos dependem da geometria precisa.
  8. Concluir: com a figura, você chega a expressões do tipo \omega_s = f(\omega_1,\beta,\gamma),\qquad \vec{\Omega}=\omega_s\hat{e}_{OB}+\omega_1\hat{e}_y,\qquad \dot{\vec{\Omega}}=\text{(expressão em }\omega_1,\omega_s,\beta,\gamma).ãOnde f é obtido resolvendo as projeções da equação de não deslizamento indicada no passo 4.

Passo 4

Resumo final e observação prática para a sua prova (empático e direto):
  • Eu sei que você está apertado de tempo — a boa notícia é que o método que você precisa usar é simples em essência: decompor a velocidade angular, escrever o vetor posição do ponto de contato, impor \vec{\Omega}\times\vec{r}_c=\vec{0} (não deslizamento) e resolver para \omega_s; depois calcular \vec{\Omega} e \dot{\vec{\Omega}}.
  • A má notícia é que, sem a figura ou uma descrição precisa de como \beta e \gamma são definidos no problema que você tem, eu não posso fornecer as expressões algébricas finais corretas — qualquer fórmula explícita que eu desse seria um palpite e poderia estar errada se os ângulos tiverem definições diferentes.

Resposta

Não é possível determinar as expressões pedidas porque a figura/definições geométricas necessárias (a posição do ponto de contato e a definição exata de \beta e \gamma) não foram fornecidas; sem essas informações não se pode aplicar corretamente a condição de rolamento sem deslizamento e obter \omega_s, \vec{\Omega} e \dot{\vec{\Omega}}.

Exercícios relacionados