15.163 O cone menor rola sem escorregar na superfície interna do cone maior que está fixo. Denotando por
, a velocidade angular constante do eixo
em movimento em torno do eixo
, determine em termos de
, e
, (a) a velocidade angular de spin do cone em torno de
, (b) a velocidade angular total do cone e (c) a sua aceleração.*
Passo 1
O enunciado (como você enviou) diz: “O cone menor rola sem escorregar na superfície interna do cone maior que está fixo. Denotando por
a velocidade angular constante do eixo
em movimento em torno do eixo
, determine em termos de
, e
, (a) a velocidade angular de spin do cone em torno de
, (b) a velocidade angular total do cone e (c) a sua aceleração.”
Informações explícitas que o enunciado fornece:
Informações explícitas que o enunciado fornece:
- Há um cone móvel (menor) que rola sem escorregar na superfície interna de um cone maior, este último fixo.
- O eixo do cone móvel é
e ele descreve um movimento de rotação em torno do eixo vertical com velocidade angular constante (o enunciado cita e também ; existe ambiguidade entre esses símbolos). - São mencionados os ângulos
e , que aparentemente descrevem geometrias angulares do sistema (por exemplo, semiângulo do cone e inclinação do eixo), mas o enunciado que você mandou não traz a figura nem uma definição explícita desses ângulos.
O que o enunciado pede:
- (a) Encontrar a velocidade angular de spin do cone em torno do seu eixo
(vou chamar isso de ). - (b) Encontrar a velocidade angular total do cone (vetor
, em termos de módulo e/ou componentes). - (c) Determinar a sua aceleração (normalmente a aceleração angular
ou a aceleração linear de pontos relevantes).
Observação importante: o enunciado depende de definições geométricas (posições relativas, sinais, quais ângulos correspondem ao que, e a localização da linha de contato) que costumam estar na figura do problema. Sem essa figura ou uma descrição precisa de como
e
estão definidos, não é possível determinar univocamente as expressões pedidas. Vou explicar por que abaixo.
Passo 2
Por que a figura/definições são necessárias (explicação didática e sem pular etapas):
- Para aplicar a condição “rola sem escorregar” precisamos escrever a condição de velocidade relativa nula na linha (ou ponto) de contato entre os dois cones. Essa condição é uma igualdade vetorial que envolve:
- o vetor posição
do ponto de contato medido a partir de um ponto de referência (aqui normalmente o vértice ), - o vetor velocidade resultante naquele ponto, dado por
quando a rotação é descrita por um vetor (velocidade angular total do corpo), - e a condição da superfície fixa (no cone maior) que impõe que a velocidade do ponto de contato da superfície móvel deve ser igual à velocidade da superfície fixa (zero, se o cone maior está fixo).
- o vetor posição
- Para escrever
de forma conveniente usamos decomposição: a velocidade angular total do cone móvel pode ser escrita como soma do spin em torno de seu eixo mais a rotação (précessão) do próprio eixo em torno do eixo vertical,
ou seja, simbolicamenteonde é o versor ao longo do eixo do cone (direção de ) e é o versor vertical. - Para transformar a condição vetorial em uma relação escalar que determine
em função de precisamos conhecer: - a orientação de
em relação a (isto é, qual é exatamente: ângulo entre e ?), - a posição do ponto de contato
— em particular sua direção e módulo relativos ao referencial em (essa direção depende do semiângulo do cone móvel, que normalmente é , e da geometria de interseção entre os dois cones), - se a linha de contato é uma circunferência inteira ou se consideramos só o ponto instantâneo; a expressão final para
surge ao projetar a equação vetorial em direções independentes (normal e tangencial) — para isso precisamos da normal da superfície no ponto de contato, que é definida pela geometria (ou seja, pela figura).
- a orientação de
- Conclusão: sem a figura (ou uma descrição geométrica precisa que diga o que são
e e onde fica ) não temos como escrever explicitamente a expressão resultante.
Passo 3
O método correto (passo a passo didático) que eu aplicaria se a figura/definições estivessem disponíveis — para você poder aplicar na prova
- Definir os versores e ângulos:
- Identificar e desenhar o eixo
(vertical), o eixo do cone móvel e marcar como o ângulo entre e (se essa for a definição do enunciado). - Identificar o semiângulo do cone móvel e fixar se esse semiângulo é
(ângulo entre geratriz e eixo do cone).
- Identificar e desenhar o eixo
- Escrever o vetor velocidade angular total:
Explique: é o spin em torno do eixo do cone (o que queremos achar); é a rotação do eixo em torno de . - Escrever a posição do ponto de contato
em coordenadas adequadas (por exemplo, usar um sistema com origem em ; expressar em termos do raio da circunferência de contato e dos ângulos ). É aqui que a figura é crucial: a direção de depende de como os cones se intersectam. - Aplicar condição de não deslizamento: a velocidade do ponto de contato na superfície móvel deve ser igual à velocidade do ponto correspondente na superfície fixa (zero). Assim:
Observação didática: essa é uma equação vetorial; projetando-a em duas direções ortogonais no plano tangente do contato (ou usando a componente normal) obtemos relações escalares. - Resolver para
: a projeção da equação anterior fornece uma relação linear entre e , cujo coeficiente envolve senos e cossenos dos ângulos e possivelmente o fator geométrico . Essa é a etapa onde, com a figura, você substituiria as expressões de e de e isolaria . - Obter
explícito substituindo encontrado e escrever módulo e componentes (resposta do item (b)). - Para a aceleração (item (c)): se
for constante (o enunciado diz velocidade angular constante do eixo em torno de ), então . A aceleração angular do corpo é Explicação: mesmo que seja fixo, gira com velocidade e portanto tem derivada temporal não nula; assim aparece o termo . Com constante, . Para avaliar usamos que a taxa de variação de um versor que gira é igual ao produto vetorial entre a velocidade angular dessa rotação e o próprio versor (ou expressar ). Isso leva a expressões para em termos de e ângulos — novamente, os coeficientes trigonométricos dependem da geometria precisa. - Concluir: com a figura, você chega a expressões do tipo
Onde é obtido resolvendo as projeções da equação de não deslizamento indicada no passo 4.
Passo 4
Resumo final e observação prática para a sua prova (empático e direto):
- Eu sei que você está apertado de tempo — a boa notícia é que o método que você precisa usar é simples em essência: decompor a velocidade angular, escrever o vetor posição do ponto de contato, impor
(não deslizamento) e resolver para ; depois calcular e . - A má notícia é que, sem a figura ou uma descrição precisa de como
e são definidos no problema que você tem, eu não posso fornecer as expressões algébricas finais corretas — qualquer fórmula explícita que eu desse seria um palpite e poderia estar errada se os ângulos tiverem definições diferentes.
Resposta
Não é possível determinar as expressões pedidas porque a figura/definições geométricas necessárias (a posição do ponto de contato e a definição exata de
e
) não foram fornecidas; sem essas informações não se pode aplicar corretamente a condição de rolamento sem deslizamento e obter
,
e
.