15.16 Calcule a série de Fourier complexa de
f(x)=\mathrm{e}^{-x}, \quad x \in[0,1]

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier complexa de f(x)=\mathrm{e}^{-x} no intervalo [0,1], estendida periodicamente com período 1. O conteúdo usado será a definição dos coeficientes da série de Fourier complexa.

Passo 2

Os coeficientes c_{n} da série de Fourier complexa são dados por
c_{n} \;=\;\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{e}^{-2\pi i n x}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Substituindo f(x)=\mathrm{e}^{-x} no integral, temos
c_{n} =\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{e}^{-2\pi i n x}\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x\,(1+2\pi i n)}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Para calcular o integral, use a antiderivada de \mathrm{e}^{-x\,(1+2\pi i n)}:
\int\mathrm{e}^{-x\,(1+2\pi i n)}\,\mathrm{d}x =-\frac{1}{1+2\pi i n}\,\mathrm{e}^{-x\,(1+2\pi i n)}.
Logo,
c_{n} =\left[-\frac{1}{1+2\pi i n}\,\mathrm{e}^{-x\,(1+2\pi i n)}\right]_{0}^{1} =\frac{1-\mathrm{e}^{-(1+2\pi i n)}}{1+2\pi i n}.

Passo 5

Como \mathrm{e}^{-2\pi i n}=1 para todo n\in\mathbb{Z}, simplificamos:
c_{n} =\frac{1-\mathrm{e}^{-1}\,\mathrm{e}^{-2\pi i n}}{1+2\pi i n} =\frac{1-\mathrm{e}^{-1}}{1+2\pi i n}.

Passo 6

Portanto, a série de Fourier complexa de f(x) é
f(x) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\,\mathrm{e}^{2\pi i n x} =\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-1}}{1+2\pi i n}\, \mathrm{e}^{2\pi i n x}.

Resposta

f(x) =\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-1}}{1+2\pi i n}\, \mathrm{e}^{2\pi i n x}.

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