15.18 Obtenha uma série de Fourier contendo apenas senos que aproxime a função f(x)= x^{2} no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier contendo apenas senos (série de senos) que aproxime a função
f(x)=x^{2}
no intervalo [0,1]. Esse tipo de série se obtém estendendo f de modo ímpar para [-1,1] e usando apenas os senos. Vamos precisar da fórmula dos coeficientes
b_{n} = 2\int_{0}^{1} f(x)\,\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 2

Na prática, buscamos a expansão
x^{2} \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,\sin(n\pi x),
onde
b_{n} = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 3

Definamos
I_{n} = \int_{0}^{1} x^{2}\,\sin(n\pi x)\,dx.
Fazemos integração por partes duas vezes:
  1. Tome u_{1}=x^{2}, dv_{1}=\sin(n\pi x)\,dx. Então du_{1}=2x\,dx e v_{1}=-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}. Logo
I_{n} = \Bigl[-\frac{x^{2}\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{0}^{1} +\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{1} x\,\cos(n\pi x)\,dx.
  1. Na integral restante, defina u_{2}=x, dv_{2}=\cos(n\pi x)\,dx. Então du_{2}=dx e v_{2}=\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}, resultando em
\int_{0}^{1} x\,\cos(n\pi x)\,dx = \Bigl[\frac{x\,\sin(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{0}^{1} - \frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 4

Calculando as partes:
  • \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^{n}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}\sin(n\pi x)\,dx = \Bigl[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{0}^{1} = -\frac{(-1)^{n}-1}{n\pi}. Assim
\int_{0}^{1} x\,\cos(n\pi x)\,dx = 0 - \frac{1}{n\pi}\Bigl(-\frac{(-1)^{n}-1}{n\pi}\Bigr) = \frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}\pi^{2}}.
Voltando a I_{n}:
I_{n} = -\frac{(-1)^{n}}{n\pi} +\frac{2}{n\pi}\,\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}\pi^{2}} = -\frac{(-1)^{n}}{n\pi} +\frac{2\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}.

Passo 5

Os coeficientes são
b_{n} = 2\,I_{n} = -\frac{2(-1)^{n}}{n\pi} +\frac{4\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}.
Portanto, a série de senos que aproxima x^{2} em [0,1] é
\boxed{ x^{2} =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ -\tfrac{2(-1)^{n}}{n\pi} +\tfrac{4\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{3}\pi^{3}} \Bigr]\sin(n\pi x). }

Resposta

x^{2} =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl( -\frac{2(-1)^{n}}{n\pi} +\frac{4\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{3}\pi^{3}} \Bigr)\sin(n\pi x).

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