15.18 Obtenha uma série de Fourier contendo apenas senos que aproxime a função
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier contendo apenas senos (série de senos) que aproxime a função
no intervalo
. Esse tipo de série se obtém estendendo
de modo ímpar para
e usando apenas os senos. Vamos precisar da fórmula dos coeficientes
Passo 2
Na prática, buscamos a expansão
onde
Passo 3
Definamos
Fazemos integração por partes duas vezes:
- Tome
, . Então e . Logo
- Na integral restante, defina
, . Então e , resultando em
Passo 4
Calculando as partes:
-
e . -
Assim
Voltando a
:
Passo 5
Os coeficientes são
Portanto, a série de senos que aproxima
em
é