15.21 Seja

f(x)= \begin{cases}1, & 0<x \leq 1 / 2 \\\\ 0, & 1 / 2<x \leq 1\end{cases}
Obtenha a série de Fourier da extensão ímpar de f(x).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 1,&0<x\le\tfrac12,\\\\ 0,&\tfrac12<x\le1 \end{cases}
em (0,1) e pede a série de Fourier da sua extensão ímpar de período 2. Para uma função ímpar em [-L,L] (aqui L=1), só aparecem termos em seno na expansão de Fourier.

Passo 2

Nessa situação o desenvolvimento em serie de Fourier vale
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\bigl(n\pi x/L\bigr)
com L=1, isto é
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n\pi x),
onde
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx =\;2\int_{0}^{1}f(x)\,\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 3

Como f(x)=1 em 0<x\le\tfrac12 e f(x)=0 em \tfrac12<x\le1, o coeficiente simplifica para
b_n=2\int_{0}^{\tfrac12}\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 4

Calculando o integral:
\int_{0}^{\tfrac12}\sin(n\pi x)\,dx =\left[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{\tfrac12} =\frac{1-\cos\bigl(n\pi/2\bigr)}{n\pi}.
Portanto
b_n =\;2\;\frac{1-\cos\bigl(n\pi/2\bigr)}{n\pi} =\frac{2\bigl(1-\cos(n\pi/2)\bigr)}{n\pi}.

Passo 5

Substituindo b_n na série de Fourier ímpar, obtemos
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\bigl(1-\cos(n\pi/2)\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x).

Resposta

\boxed{ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\bigl(1-\cos(n\pi/2)\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x), }
que é a série de Fourier da extensão ímpar de f(x).

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