15.21 Seja f(x)= \begin{cases}1, & 0<x \leq 1 / 2 \\\\ 0, & 1 / 2<x \leq 1\end{cases} Obtenha a série de Fourier da extensão ímpar de f(x). Passo 1O enunciado define a função f(x)= \begin{cases} 1,&0<x\le\tfrac12,\\\\ 0,&\tfrac12<x\le1 \end{cases} em (0,1) e pede a série de Fourier da sua extensão ímpar de período 2. Para uma função ímpar em [-L,L] (aqui L=1), só aparecem termos em seno na expansão de Fourier. Passo 2Nessa situação o desenvolvimento em serie de Fourier vale f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\bigl(n\pi x/L\bigr) com L=1, isto é f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n\pi x), onde b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx =\;2\int_{0}^{1}f(x)\,\sin(n\pi x)\,dx. Passo 3Como f(x)=1 em 0<x\le\tfrac12 e f(x)=0 em \tfrac12<x\le1, o coeficiente simplifica para b_n=2\int_{0}^{\tfrac12}\sin(n\pi x)\,dx. Passo 4Calculando o integral: \int_{0}^{\tfrac12}\sin(n\pi x)\,dx =\left[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{\tfrac12} =\frac{1-\cos\bigl(n\pi/2\bigr)}{n\pi}. Portanto b_n =\;2\;\frac{1-\cos\bigl(n\pi/2\bigr)}{n\pi} =\frac{2\bigl(1-\cos(n\pi/2)\bigr)}{n\pi}. Passo 5Substituindo b_n na série de Fourier ímpar, obtemos f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\bigl(1-\cos(n\pi/2)\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x). Resposta \boxed{ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\bigl(1-\cos(n\pi/2)\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x), } que é a série de Fourier da extensão ímpar de f(x). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados15.18 Obtenha uma série de Fourier contendo apenas senos que aproxime a função f(x)= x^{2} no intervalo [0,1]. 15.16 Calcule a série de Fourier complexa de f(x)=\mathrm{e}^{-x}, \quad x \in[0,1] \int_{1}^{e} \frac{2+\ln x}{x} d x Subst.: u=\ln x \Rightarrow d u=\frac{d x}{x}. Limites: 0 \rightarrow 1. \int_{0}^{1}(2+u) d u=\left.\left(2 u+\frac{u^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{5}{2}. \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x\left(1+(\ln x)^{2}\right)} d x Subst.: u=\ln x \Rightarrow d u=\frac{d x}{x}. Limites: 0 \rightarrow 2. \int_{0}^{2} \frac{d u}{1+u^{2}}=\left.\arctan u\right|_{0} ^{2}=\arctan 2