15-16 Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
Passo 1
O enunciado dado é curto e diz apenas: “Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.”
O que o enunciado pede: provar que uma certa função é contínua em um certo intervalo, usando a definição (limite igual ao valor) e propriedades de limites.
Informações que faltam (importante): a função explicitamente não foi fornecida e o intervalo também não foi fornecido. Sem saber qual é a função e qual é o intervalo
fica impossível escrever a prova específica pedida. Portanto não dá para produzir a prova particular solicitada.
O que o enunciado pede: provar que uma certa função é contínua em um certo intervalo, usando a definição (limite igual ao valor) e propriedades de limites.
Informações que faltam (importante): a função explicitamente não foi fornecida e o intervalo também não foi fornecido. Sem saber qual é a função
Ainda assim, abaixo eu vou ensinar passo a passo e muito didaticamente o método geral que se usa em provas desse tipo — exatamente o que seu professor espera que você aplique no exercício concreto. Vou mostrar a definição, as propriedades de limites que você pode usar, e exemplos detalhados (com contas e um pequeno epsilon-delta para treinar) para que você consiga aplicar o mesmo raciocínio ao exercício quando tiver a função e o intervalo certos. Confia: depois dessa explicação você vai saber como montar a prova na hora da prova.
Passo 2
Definição (a usar em todas as provas). Seja
definida num intervalo
e seja
. A função
é contínua em
se, e somente se,
Explicando passo a passo: isso significa que, quando
se aproxima de
, os valores
se aproximam do número
. Em provas formais costuma-se usar a definição
-
:
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
(e
estiver no domínio), então
.
Observação sobre extremos de intervalo fechado: se o intervalo for fechado , nos pontos internos
usamos limites usuais; nos extremos usamos limites unilaterais: em
exigimos
e em
exigimos
.
Observação sobre extremos de intervalo fechado: se o intervalo for fechado
Passo 3
Principais propriedades de limites (ferramentas que liberam trabalho): se existirem os limites envolvidos, valem as regras abaixo — estas são as que você pode invocar sem re-provar cada vez:
- Soma:
- Produto:
- Quociente:
, desde que . - Composição: se
e é contínua em , então .
Além disso, há fatos práticos prontinhos:
- Função constante
é contínua em todo lugar. - Função identidade
é contínua. - Polinômios são contínuos em toda parte.
- Funções racionais (quociente de polinômios) são contínuas em pontos onde o denominador não é zero.
- Funções elementares como
, , , (no domínio), raízes e potências com expoente racional apropriado são contínuas em seus domínios.
Com essas propriedades, muitas provas se tornam aplicações diretas: mostrar que cada pedaço é contínuo e usar soma/produto/quotient/composição.
Passo 4
Estratégia geral para provar continuidade em um intervalo
(roteiro que siga em provas da prova):
- Identificar o tipo da função (polinômio, racional, composta, peça por peça, etc.).
- Para cada ponto interior do intervalo que não seja ponto de quebra de definição, use as propriedades de limites para concluir continuidade (por exemplo: polinômio → contínuo). Isso geralmente resolve todos os pontos interiores de uma vez.
- Se houver pontos onde a expressão muda (função por partes), verifique os limites laterais nesses pontos e compare com o valor da função ali: precisa que
. - Se o intervalo for fechado, analise também os extremos usando limites unilaterais.
- Se o domínio exclui pontos (denominador zero, log de número não positivo etc.), verifique que o intervalo dado não contenha pontos problemáticos; se contiver, a função não é contínua ali.
Vou agora aplicar isso em exemplos concretos para você pegar prática.
Passo 5
Exemplo 1 (polinômio): provar que
é contínua para todo
.
Raciocínio prático: sabemos que a função identidade
é contínua e que soma e produto de funções contínuas são contínuos. Como
é produto de
por
, é contínua; multiplicando por constantes e somando termos contínuos continua contínua. Logo
é contínua em todo ponto.
Se quiser uma prova usando limites diretamente, para um ponto
calcule:
Como o limite existe e é igual a
para todo
,
é contínua em
.
Passo 6
Exemplo 2 (quociente de polinômios): provar que
é contínua em
.
Raciocínio: numerador e denominador são polinômios, contínuos em todo lugar. Pelo teorema do quociente, onde o denominador não se anula o quociente é contínuo. Portanto
é contínua em
. Observação: embora
simplifique para
quando
, em
a função original não está definida; se o enunciado pedir continuidade em todo
seria preciso redefinir o valor em
e checar o limite.
Passo 7
Exemplo 3 (composição): provar que
é contínua em todo
.
Raciocínio:
é contínua (polinômio).
é contínua em todo
. A composição de duas funções contínuas é contínua. Logo
é contínua em todo
. Em termos de limites:
Passo 8
Exemplo 4 (função por partes): seja
Queremos saber se
é contínua em todo
.
Passos para checar:
- Para
e para cada ramo é polinomial, portanto contínuo nesses intervalos abertos. - No ponto de quebra
precisamos checar os limites laterais:
Como
, os limites laterais não coincidem; logo
não existe e
não é contínua em
. Conclusão:
é contínua em
, mas não no
.]
Passo 9
Epsilon-delta curto (prática para provas): provar por
-
que
é contínua em
. Quero mostrar que, dado
, existe
tal que
.
Calcula:
Escolha
(suficiente para checar um caso), assim se
então
e portanto
. Assim
Agora imponha
com
Então
. Isso completa a prova epsilon-delta e é o tipo de argumento que o examinador espera, se pedir formato formal.
Passo 10
Resumo prático que você deve seguir na prova (lista curtinha e útil):
- Identifique o domínio real da função e o intervalo pedido.
- Se a função for combinação de funções padrão (polinômios, racionais, exponenciais, trigonométricas, log, raízes), use as propriedades (soma/produto/quotient/composição) para concluir continuidade em pontos interiores onde as operações são válidas.
- Se houver pontos de troca de definição (peça por peça), calcule
, e compare com . Se divergirem, declare não contínua ali. - Em extremos de intervalo fechado, use limites unilaterais.
- Se necessário, dê um
- para um ponto difícil (mostrei o exemplo de para treinar).
Dica emocional: respira fundo. Na maioria das questões de continuidade da graduação, com essas ferramentas você resolve 90% das situações sem ter que inventar nada.
Passo 11
Conclusão específica para o seu enunciado: não é possível escrever a prova concreta pedida porque o enunciado não forneceu a função nem o intervalo onde verificar continuidade. Use o roteiro e os exemplos que eu dei assim que tiver a função: 1) identifique o tipo, 2) use propriedades de limites/polynomial/rational/composition, 3) cheque pontos de quebra com limites laterais, 4) use
-
só quando for exigido formalmente. Você já tem tudo para aplicar.
Resposta
Não é possível mostrar a continuidade da função pedida porque o enunciado não especifica qual é a função nem qual é o intervalo; fornecendo a função e o intervalo, aplica-se imediatamente o roteiro explicado acima para construir a prova.