15-16 Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.

Passo 1

O enunciado dado é curto e diz apenas: “Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.”
O que o enunciado pede: provar que uma certa função é contínua em um certo intervalo, usando a definição (limite igual ao valor) e propriedades de limites.
Informações que faltam (importante): a função explicitamente não foi fornecida e o intervalo também não foi fornecido. Sem saber qual é a função f e qual é o intervalo I fica impossível escrever a prova específica pedida. Portanto não dá para produzir a prova particular solicitada.
Ainda assim, abaixo eu vou ensinar passo a passo e muito didaticamente o método geral que se usa em provas desse tipo — exatamente o que seu professor espera que você aplique no exercício concreto. Vou mostrar a definição, as propriedades de limites que você pode usar, e exemplos detalhados (com contas e um pequeno epsilon-delta para treinar) para que você consiga aplicar o mesmo raciocínio ao exercício quando tiver a função e o intervalo certos. Confia: depois dessa explicação você vai saber como montar a prova na hora da prova.

Passo 2

Definição (a usar em todas as provas). Seja f definida num intervalo I e seja a\in I. A função f é contínua em a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Explicando passo a passo: isso significa que, quando x se aproxima de a, os valores f(x) se aproximam do número f(a). Em provas formais costuma-se usar a definição \varepsilon- \delta: f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta (e x estiver no domínio), então |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Observação sobre extremos de intervalo fechado: se o intervalo for fechado [b,c], nos pontos internos x\in(b,c) usamos limites usuais; nos extremos usamos limites unilaterais: em b exigimos \lim_{x\to b^+}f(x)=f(b) e em c exigimos \lim_{x\to c^-}f(x)=f\text{(c)}.

Passo 3

Principais propriedades de limites (ferramentas que liberam trabalho): se existirem os limites envolvidos, valem as regras abaixo — estas são as que você pode invocar sem re-provar cada vez:
  • Soma: \displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x).
  • Produto: \displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=\bigl(\lim_{x\to a}f(x)\bigr)\bigl(\lim_{x\to a}g(x)\bigr).
  • Quociente: \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}, desde que \lim_{x\to a}g(x)\neq0.
  • Composição: se \lim_{x\to a}g(x)=L e f é contínua em L, então \lim_{x\to a} f(g(x))=f\bigl(\lim_{x\to a}g(x)\bigr)=f(L).
Além disso, há fatos práticos prontinhos:
  • Função constante x\mapsto c é contínua em todo lugar.
  • Função identidade x\mapsto x é contínua.
  • Polinômios são contínuos em toda parte.
  • Funções racionais (quociente de polinômios) são contínuas em pontos onde o denominador não é zero.
  • Funções elementares como \sin, \cos, e^x, \ln x (no domínio), raízes e potências com expoente racional apropriado são contínuas em seus domínios.
    Com essas propriedades, muitas provas se tornam aplicações diretas: mostrar que cada pedaço é contínuo e usar soma/produto/quotient/composição.

Passo 4

Estratégia geral para provar continuidade em um intervalo I (roteiro que siga em provas da prova):
  1. Identificar o tipo da função (polinômio, racional, composta, peça por peça, etc.).
  2. Para cada ponto interior do intervalo que não seja ponto de quebra de definição, use as propriedades de limites para concluir continuidade (por exemplo: polinômio → contínuo). Isso geralmente resolve todos os pontos interiores de uma vez.
  3. Se houver pontos onde a expressão muda (função por partes), verifique os limites laterais nesses pontos e compare com o valor da função ali: precisa que \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).
  4. Se o intervalo for fechado, analise também os extremos usando limites unilaterais.
  5. Se o domínio exclui pontos (denominador zero, log de número não positivo etc.), verifique que o intervalo dado não contenha pontos problemáticos; se contiver, a função não é contínua ali.
Vou agora aplicar isso em exemplos concretos para você pegar prática.

Passo 5

Exemplo 1 (polinômio): provar que f(x)=x^2+3x-5 é contínua para todo x\in\mathbb{R}.
Raciocínio prático: sabemos que a função identidade x\mapsto x é contínua e que soma e produto de funções contínuas são contínuos. Como x^2 é produto de x por x, é contínua; multiplicando por constantes e somando termos contínuos continua contínua. Logo f é contínua em todo ponto.
Se quiser uma prova usando limites diretamente, para um ponto a calcule:
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a}(x^2+3x-5)=\lim_{x\to a}x^2+3\lim_{x\to a}x-5=a^2+3a-5=f(a).
Como o limite existe e é igual a f(a) para todo a, f é contínua em \mathbb{R}.

Passo 6

Exemplo 2 (quociente de polinômios): provar que g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} é contínua em I=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Raciocínio: numerador e denominador são polinômios, contínuos em todo lugar. Pelo teorema do quociente, onde o denominador não se anula o quociente é contínuo. Portanto g é contínua em \mathbb{R}\setminus\{1\}. Observação: embora \dfrac{x^2-1}{x-1} simplifique para x+1 quando x\neq1, em x=1 a função original não está definida; se o enunciado pedir continuidade em todo \mathbb{R} seria preciso redefinir o valor em x=1 e checar o limite.

Passo 7

Exemplo 3 (composição): provar que h(x)=\sin(x^2) é contínua em todo \mathbb{R}.
Raciocínio: x\mapsto x^2 é contínua (polinômio). \sin é contínua em todo \mathbb{R}. A composição de duas funções contínuas é contínua. Logo h é contínua em todo \mathbb{R}. Em termos de limites:
\lim_{x\to a} \sin(x^2)=\sin\bigl(\lim_{x\to a}x^2\bigr)=\sin(a^2)=h(a).

Passo 8

Exemplo 4 (função por partes): seja
f(x)=\begin{cases} x^2, & x\le 1,\\[4pt] 2x+1, & x>1. \end{cases}
Queremos saber se f é contínua em todo \mathbb{R}.
Passos para checar:
  • Para x<1 e para x>1 cada ramo é polinomial, portanto contínuo nesses intervalos abertos.
  • No ponto de quebra x=1 precisamos checar os limites laterais:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} x^2=1, \qquad \lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (2x+1)=3.
Como 1\neq3, os limites laterais não coincidem; logo \lim_{x\to1}f(x) não existe e f não é contínua em x=1. Conclusão: f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{1\}, mas não no 1.]

Passo 9

Epsilon-delta curto (prática para provas): provar por \varepsilon- \delta que p(x)=x^2 é contínua em a. Quero mostrar que, dado \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta\Rightarrow |x^2-a^2|<\varepsilon.
Calcula:
|x^2-a^2|=|x-a||x+a|.
Escolha \delta\le 1 (suficiente para checar um caso), assim se |x-a|<\delta\le1 então |x|<|a|+1 e portanto |x+a|\le |x|+|a|<2|a|+1. Assim
|x^2-a^2| \le |x-a|(2|a|+1).
Agora imponha |x-a|<\delta com
\delta=\min\!\left\{1,\;\frac{\varepsilon}{2|a|+1}\right\}.
Então |x^2-a^2|<(2|a|+1)\delta\le\varepsilon. Isso completa a prova epsilon-delta e é o tipo de argumento que o examinador espera, se pedir formato formal.

Passo 10

Resumo prático que você deve seguir na prova (lista curtinha e útil):
  1. Identifique o domínio real da função e o intervalo pedido.
  2. Se a função for combinação de funções padrão (polinômios, racionais, exponenciais, trigonométricas, log, raízes), use as propriedades (soma/produto/quotient/composição) para concluir continuidade em pontos interiores onde as operações são válidas.
  3. Se houver pontos de troca de definição (peça por peça), calcule \lim_{x\to a^-}f(x), \lim_{x\to a^+}f(x) e compare com f(a). Se divergirem, declare não contínua ali.
  4. Em extremos de intervalo fechado, use limites unilaterais.
  5. Se necessário, dê um \varepsilon- \delta para um ponto difícil (mostrei o exemplo de x^2 para treinar).
Dica emocional: respira fundo. Na maioria das questões de continuidade da graduação, com essas ferramentas você resolve 90% das situações sem ter que inventar nada.

Passo 11

Conclusão específica para o seu enunciado: não é possível escrever a prova concreta pedida porque o enunciado não forneceu a função nem o intervalo onde verificar continuidade. Use o roteiro e os exemplos que eu dei assim que tiver a função: 1) identifique o tipo, 2) use propriedades de limites/polynomial/rational/composition, 3) cheque pontos de quebra com limites laterais, 4) use \varepsilon- \delta só quando for exigido formalmente. Você já tem tudo para aplicar.

Resposta

Não é possível mostrar a continuidade da função pedida porque o enunciado não especifica qual é a função nem qual é o intervalo; fornecendo a função e o intervalo, aplica-se imediatamente o roteiro explicado acima para construir a prova.

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