23-24 Como você “removeria a descontinuidade” de f ? Em outras palavras, como você definiria f(2) no intuito de fazer f contínua em 2 ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Como você ‘removeria a descontinuidade’ de f ? Em outras palavras, como você definiria f(2) no intuito de fazer f contínua em 2 ?”
Informações dadas: nenhuma expressão explícita de f foi fornecida — só a pergunta geral. Portanto não há como calcular um valor numérico específico para f(2) sem saber a fórmula de f. Vou, então, explicar passo a passo e com exemplos como proceder em qualquer caso: como testar se a descontinuidade em x=2 é removível e, se for, qual valor atribuir a f(2).

Passo 2

O que significa "ser contínua em 2"?
Uma função f é contínua em x=2 se e somente se as três quantidades abaixo existirem e forem iguais:
\lim_{x\to 2} f(x),\qquad f(2),\qquad\text{e o valor comum é finito.}é
Na prática, para tornar f contínua em 2 basta fazer f(2) igual ao valor do limite, desde que o limite exista e seja finito. Ou seja, a ideia simples é:
\text{se }L=\lim_{x\to 2} f(x)\text{ existe e é finito, então definir }f(2):=Léã
torna f contínua em 2.

Passo 3

O que é uma descontinuidade removível?
  • Chamamos de descontinuidade removível o caso em que \lim_{x\to 2} f(x) existe e é finito, mas ou f(2) não está definido ou f(2)\neq\lim_{x\to2}f(x).
  • Nesses casos podemos “remover” a descontinuidade definindo f(2) igual ao limite.
    Se o limite não existir (por exemplo limites laterais diferentes) ou for infinito, não há valor único que torne f contínua em 2.

Passo 4

Como calcular \lim_{x\to 2} f(x) — métodos práticos (caso típico: indeterminação 0/0).
Um caso muito comum é quando f é uma fração racional que dá 0/0 em x=2. O procedimento padrão é fatorar e simplificar. Exemplo concreto 1:
Considere
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}\quad\text{para }x\neq2.
Calcule o limite:
fatorando o numerador,
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Para x\neq2 podemos cancelar:
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\quad\text{para }x\neq2.
Agora o limite fica simples:
\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=2+2=4.
Logo, se a função originalmente não estava definida em 2, definindo
f(2):=4
faz com que f seja contínua em 2. Esse é o padrão: fatorar, cancelar o fator que causa a indeterminação e avaliar o resultado.

Passo 5

Outro método para indeterminações que envolvem radicais: multiplicar pelo conjugado. Exemplo concreto 2:
Considere
g(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\quad\text{para }x\neq2.
Ao substituir x=2 obtemos 0/0. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+2}+2:
g(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} =\frac{x+2-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} =\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}.
Cancelando x-2 (para x\neq2) obtemos
g(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}\quad\text{para }x\neq2.
Agora:
\lim_{x\to2} g(x)=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.
Portanto, definindo g(2):=\tfrac{1}{4} torna-se contínua em 2.

Passo 6

Casos em que não é possível remover a descontinuidade
  • Limites laterais diferentes: se \lim_{x\to 2^-} f(x)\neq\lim_{x\to 2^+} f(x)\), não existe um único valor que iguale ambos; NÃO é possível remover. Exemplo: função definida por \[h(x)=\begin{cases} 1, & x<2,\\[4pt] 0, & x>2. \end{cases}
Aqui \lim_{x\to2^-}h(x)=1\] e \(\lim_{x\to2^+}h(x)=0, logo não dá para escolher h(2) que faça a função contínua.
  • Limite infinito: se \lim_{x\to2} f(x)=\pm\infty, a descontinuidade é essencial (assimptótica) e não removível por escolha de f(2).]

Passo 7

Resumo do algoritmo que você deve aplicar na prova (passo a passo simples)
  1. Calcule \lim_{x\to 2} f(x). Para isso:
    • tente substituir x=2 diretamente; se der valor finito, esse é o limite;
    • se der indeterminação 0/0 ou \infty/\infty, tente fatorar, simplificar, usar conjugado (para radicais) ou, quando apropriado, L’Hôpital (apenas se as condições de L’Hôpital forem satisfeitas).
  2. Verifique se o limite existe e é finito.
  3. Se o limite existir e for L, defina
f(2):=L.
  1. Se o limite não existir ou for infinito, não é possível remover a descontinuidade por definição única de f(2).
Dica de prova: escreva claramente que a continuidade exige f(2)=\lim_{x\to2}f(x) e faça a conta do limite mostrando o passo de fatoração/conjugado/cancelamento; isso é suficiente para justificar que a redefinição remove a descontinuidade.

Resposta

Defina f(2)=\lim_{x\to 2} f(x), se esse limite existir e for finito; caso contrário não é possível tornar f contínua em 2.

Exercícios relacionados