23-24 Como você “removeria a descontinuidade” de
? Em outras palavras, como você definiria
no intuito de fazer
contínua em 2 ?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Como você ‘removeria a descontinuidade’ de
? Em outras palavras, como você definiria
no intuito de fazer
contínua em 2 ?”
Informações dadas: nenhuma expressão explícita de foi fornecida — só a pergunta geral. Portanto não há como calcular um valor numérico específico para
sem saber a fórmula de
. Vou, então, explicar passo a passo e com exemplos como proceder em qualquer caso: como testar se a descontinuidade em
é removível e, se for, qual valor atribuir a
.
Informações dadas: nenhuma expressão explícita de
Passo 2
O que significa "ser contínua em
"?
Uma função é contínua em
se e somente se as três quantidades abaixo existirem e forem iguais:
Uma função
Na prática, para tornar
contínua em
basta fazer
igual ao valor do limite, desde que o limite exista e seja finito. Ou seja, a ideia simples é:
torna
contínua em
.
Passo 3
O que é uma descontinuidade removível?
- Chamamos de descontinuidade removível o caso em que
existe e é finito, mas ou não está definido ou . - Nesses casos podemos “remover” a descontinuidade definindo
igual ao limite.
Se o limite não existir (por exemplo limites laterais diferentes) ou for infinito, não há valor único que tornecontínua em .
Passo 4
Como calcular
— métodos práticos (caso típico: indeterminação
).
Um caso muito comum é quando é uma fração racional que dá
em
. O procedimento padrão é fatorar e simplificar. Exemplo concreto 1:
Considere
Um caso muito comum é quando
Considere
Calcule o limite:
fatorando o numerador,
fatorando o numerador,
Para
podemos cancelar:
Agora o limite fica simples:
Logo, se a função originalmente não estava definida em
, definindo
faz com que
seja contínua em
. Esse é o padrão: fatorar, cancelar o fator que causa a indeterminação e avaliar o resultado.
Passo 5
Outro método para indeterminações que envolvem radicais: multiplicar pelo conjugado. Exemplo concreto 2:
Considere
Considere
Ao substituir
obtemos
. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
:
Cancelando
(para
) obtemos
Agora:
Portanto, definindo
torna-se contínua em
.
Passo 6
Casos em que não é possível remover a descontinuidade
- Limites laterais diferentes: se
Aqui
, logo não dá para escolher
que faça a função contínua.
- Limite infinito: se
, a descontinuidade é essencial (assimptótica) e não removível por escolha de .]
Passo 7
Resumo do algoritmo que você deve aplicar na prova (passo a passo simples)
- Calcule
. Para isso: - tente substituir
diretamente; se der valor finito, esse é o limite; - se der indeterminação
ou , tente fatorar, simplificar, usar conjugado (para radicais) ou, quando apropriado, L’Hôpital (apenas se as condições de L’Hôpital forem satisfeitas).
- tente substituir
- Verifique se o limite existe e é finito.
- Se o limite existir e for
, defina
- Se o limite não existir ou for infinito, não é possível remover a descontinuidade por definição única de
.
Dica de prova: escreva claramente que a continuidade exige
e faça a conta do limite mostrando o passo de fatoração/conjugado/cancelamento; isso é suficiente para justificar que a redefinição remove a descontinuidade.
Resposta
Defina
, se esse limite existir e for finito; caso contrário não é possível tornar
contínua em
.