Uma justificativa mais “construtiva” (estilo ε–δ) para sentir segurança: como \dfrac{f(x)}{x^{2}}\to 5, existe \delta>0 tal que para 0<|x|<\delta vale \left|\dfrac{f(x)}{x^{2}}-5\right|<1. Então para esses x,
Como 6x^{2}\to 0 quando x\to 0, pelo princípio do confronto concluímos |f(x)|\to 0, ou seja \lim_{x\to 0}f(x)=0. Isso mostra também que o resultado não depende do valor (ou da definição) de f(0); a questão é o comportamento próximo de 0.
Passo 5
Para fixar o conceito com exemplos curtos:
Se f(x)=5x^{2} então \dfrac{f(x)}{x^{2}}=5 e \lim_{x\to0}f(x)=0.
Se f(x)=5x^{2}+x^{3} então \dfrac{f(x)}{x^{2}}=5+x\to5 e novamente \lim_{x\to0}f(x)=0.
Esses exemplos mostram como diferentes funções que satisfazem a hipótese têm o mesmo limite 0.