Se \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=5, encontre os seguintes limites.
(a) \lim _{x \rightarrow 0} f(x)

Passo 1

O enunciado nos dá a informação
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^{2}}=5.
A pergunta (a) é: encontrar
\lim_{x\to 0} f(x).
Listei o que temos e o que se pede; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Ideia básica: escrever f(x) como produto de duas funções cuja limite a gente conhece. Note que, para x\neq 0,
f(x)=x^{2}\cdot\frac{f(x)}{x^{2}}.
Vamos usar uma regra padrão de limites: se \lim_{x\to 0}g(x)=A e \lim_{x\to 0}h(x)=B com A e B finitos, então
\lim_{x\to 0} g(x)h(x)=AB.
Aqui podemos tomar g(x)=x^{2} e h(x)=\dfrac{f(x)}{x^{2}}.

Passo 3

Calcule os limites das partes:
\lim_{x\to 0} x^{2}=0, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^{2}}=5\quad\text{(dado).}
Aplicando a regra do produto de limites, obtemos
\lim_{x\to 0} f(x) = \left(\lim_{x\to 0} x^{2}\right)\left(\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^{2}}\right) =0\cdot 5=0.

Passo 4

Uma justificativa mais “construtiva” (estilo ε–δ) para sentir segurança: como \dfrac{f(x)}{x^{2}}\to 5, existe \delta>0 tal que para 0<|x|<\delta vale \left|\dfrac{f(x)}{x^{2}}-5\right|<1. Então para esses x,
\left|\frac{f(x)}{x^{2}}\right|<6 \quad\Rightarrow\quad |f(x)|<6x^{2}.
Como 6x^{2}\to 0 quando x\to 0, pelo princípio do confronto concluímos |f(x)|\to 0, ou seja \lim_{x\to 0}f(x)=0. Isso mostra também que o resultado não depende do valor (ou da definição) de f(0); a questão é o comportamento próximo de 0.

Passo 5

Para fixar o conceito com exemplos curtos:
  • Se f(x)=5x^{2} então \dfrac{f(x)}{x^{2}}=5 e \lim_{x\to0}f(x)=0.
  • Se f(x)=5x^{2}+x^{3} então \dfrac{f(x)}{x^{2}}=5+x\to5 e novamente \lim_{x\to0}f(x)=0.
    Esses exemplos mostram como diferentes funções que satisfazem a hipótese têm o mesmo limite 0.

Resposta

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