\int_{1}^{e} \frac{2+\ln x}{x} d x
Subst.: u=\ln x \Rightarrow d u=\frac{d x}{x}. Limites: 0 \rightarrow 1.
\int_{0}^{1}(2+u) d u=\left.\left(2 u+\frac{u^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{5}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{1}^{e}\frac{2+\ln x}{x}\,dx. O conteúdo aqui é substituição simples, porque percebemos que \frac{dx}{x} aparece junto com \ln x.

Passo 2

Fazendo a troca de variável
u = \ln x,
temos
du = \frac{dx}{x}.
Quando x=1, u=\ln1=0; quando x=e, u=\ln e=1.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{1}^{e}\frac{2+\ln x}{x}\,dx = \int_{0}^{1}(2+u)\,du.

Passo 4

Agora calculamos
\int_{0}^{1}(2+u)\,du = \int_{0}^{1}2\,du + \int_{0}^{1}u\,du = \bigl[2u\bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\tfrac{u^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} = 2 + \tfrac12 = \tfrac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{5}{2}

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