15-18 Use a double integral to find the area of the region.
The region inside the cardioid
and outside the circle
The region inside the cardioid
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está dentro do cardioide r=1+cosθ e fora do círculo r=3
cósθ, usando uma integral dupla em coordenadas polares. Para encontrar onde as curvas se cruzam, igualamos 1+cosθ=3
cósθ, obtendo cosθ=1/2. Logo θ=±π/3 são os ângulos de interseção.
cósθ, usando uma integral dupla em coordenadas polares. Para encontrar onde as curvas se cruzam, igualamos 1+cosθ=3
cósθ, obtendo cosθ=1/2. Logo θ=±π/3 são os ângulos de interseção.
Passo 2
Uma forma eficiente é notar que a área desejada é a área total do cardioide menos a área de interseção (onde o cardioide fica completamente dentro do círculo).
Passo 3
A área total do cardioide r=1+cosθ em 0≤θ<2π é
Passo 4
A área de interseção é a parte comum (dentro do cardioide e do círculo) para θ∈[-π/3,π/3], onde r varia de 0 a 1+cosθ. Logo
Passo 5
Subtraindo, obtemos a área da região que está dentro do cardioide e fora do círculo: