15-18 Use a double integral to find the area of the region.
The region inside the cardioid r=1+cos theta and outside the circle r=3 cos theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro do cardioide r=1+cosθ e fora do círculo r=3
cósθ, usando uma integral dupla em coordenadas polares. Para encontrar onde as curvas se cruzam, igualamos 1+cosθ=3
cósθ, obtendo cosθ=1/2. Logo θ=±π/3 são os ângulos de interseção.

Passo 2

Uma forma eficiente é notar que a área desejada é a área total do cardioide menos a área de interseção (onde o cardioide fica completamente dentro do círculo).

Passo 3

A área total do cardioide r=1+cosθ em 0≤θ<2π é
Acardioide=12integral0^2pi(1+costheta)^2,dtheta =3pi2

Passo 4

A área de interseção é a parte comum (dentro do cardioide e do círculo) para θ∈[-π/3,π/3], onde r varia de 0 a 1+cosθ. Logo
Aint=12integral-pi/3^pi/3(1+costheta)^2,dtheta =pi2+9raiz38

Passo 5

Subtraindo, obtemos a área da região que está dentro do cardioide e fora do círculo:
A= Acardioide-Aint =3pi2-l(pi2+9raiz38r) =pi-9raiz38

Resposta

pi-dfrac9raiz38

Exercícios relacionados