(a) A cylindrical drill with radius r1 is used to bore a hole through the center of a sphere of radius r2. Find the volume of the ring-shaped solid that remains.
(b) Express the volume in part (a) in terms of the height h of the ring. Notice that the volume depends only on h, not on r1 or r2.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem uma esfera de raio r2 e faz um furo cilíndrico de raio r1 passando pelo centro. Queremos o volume do sólido que sobra, é o famoso “anel do guardanapo” (napkin ring), e vamos usar o método das fatias (discos ou anéis).

Passo 2

Escolhemos o eixo z passando pelo centro da esfera. A equação da esfera é x^2 + y^2 + z^2 = r2^2. Para cada valor de z, o raio da seção transversal da esfera é R(z) = raizr2^2 - z^2.

Passo 3

O cilindro perfura onde a esfera ainda tem raio igual a r1. Isso ocorre quando R(z)=r1, ou seja z = pm raizr2^2 - r1^2. Denotamos a = raizr2^2 - r1^2.

Passo 4

Pelo método das fatias, a área da seção em z é a área do círculo externo menos a do furo: pil[R(z)^2 - r1^2r]. Assim o volume é a integral dessas áreas de -a a a:
V = integral-a^a pil[(r2^2 - z^2) - r1^2r],dz

Passo 5

Simplificando o integrando, note que r2^2 - r1^2 = a^2, então (r2^2 - z^2) - r1^2 = a^2 - z^2. A integral fica
V = pi integral-a^a (a^2 - z^2),dz

Passo 6

Calculando a integral, temos
V = pi l[a^2 z - z^33r]-a^a = pil(2a^3 - 2a^33r) = 4pi3a^3
Substituindo a = raizr2^2 - r1^2, obtemos
V = 4pi3(r2^2 - r1^2)^3/2

Passo 7

Para a parte (b), definimos a altura do anel como h = 2a = 2raizr2^2 - r1^2. Substituindo a = h/2 no resultado, vem
V = 4pi3l(tfrach2r)^3 = pi h^36
Observe que esse volume depende apenas de h, não de r1 nem de r2.

Resposta

a) V = 4pi3(r2^2 - r1^2)^3/2. b) V = pi h^36.

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