(a) A cylindrical drill with radius
is used to bore a hole through the center of a sphere of radius
. Find the volume of the ring-shaped solid that remains.
(b) Express the volume in part (a) in terms of the height
of the ring. Notice that the volume depends only on
, not on
or
.
(b) Express the volume in part (a) in terms of the height
Passo 1
Nesse exercício a gente tem uma esfera de raio
e faz um furo cilíndrico de raio
passando pelo centro. Queremos o volume do sólido que sobra, é o famoso “anel do guardanapo” (napkin ring), e vamos usar o método das fatias (discos ou anéis).
Passo 2
Escolhemos o eixo
passando pelo centro da esfera. A equação da esfera é
. Para cada valor de
, o raio da seção transversal da esfera é
.
Passo 3
O cilindro perfura onde a esfera ainda tem raio igual a
. Isso ocorre quando
, ou seja
. Denotamos
.
Passo 4
Pelo método das fatias, a área da seção em
é a área do círculo externo menos a do furo:
. Assim o volume é a integral dessas áreas de
a
:
Passo 5
Simplificando o integrando, note que
, então
. A integral fica
Passo 6
Calculando a integral, temos
Substituindo
, obtemos
Passo 7
Para a parte (b), definimos a altura do anel como
. Substituindo
no resultado, vem
Observe que esse volume depende apenas de
, não de
nem de
.
Resposta
a)
. b)
.