7-14 Evaluate the given integral by changing to polar coordinates.
, where
is the region bounded by the semicircle
and the
-axis
Passo 1
A questão pede para avaliar ∬_D e{-x2 - y^2} dA, onde D é o semicírculo de raio 2 à direita do eixo y. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, e vamos precisar usar a transformação x = r cosθ, y = r sinθ e o jacobiano r.
Passo 2
Em coordenadas polares, a condição x ≥ 0 faz θ variar de -π/2 a π/2, e como D está dentro do círculo x^2 + y^2 ≤ 4, temos 0 ≤ r ≤ 2. Substituímos na integral: dA = r dr dθ e e{-x2 - y^2} = e{-r2}, ficando
Passo 3
Para a integral em r, fazemos u = r^2, então du = 2r dr e r dr = du/2. Assim
Passo 4
Agora integramos em θ, que é apenas a largura do intervalo: ∫_{-π/2}^{π/2} dθ = π. Logo o resultado final é π vezes o que encontramos em r. Multiplicando, obtemos
Resposta
\frac{π}{2} (1 - e^{-4})