7-14 Evaluate the given integral by changing to polar coordinates.
integral duplaD e^-x^2-y^2 d A, where D is the region bounded by the semicircle x=raiz4-y^2 and the y-axis

Passo 1

A questão pede para avaliar ∬_D e{-x2 - y^2} dA, onde D é o semicírculo de raio 2 à direita do eixo y. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, e vamos precisar usar a transformação x = r cosθ, y = r sinθ e o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas polares, a condição x ≥ 0 faz θ variar de -π/2 a π/2, e como D está dentro do círculo x^2 + y^2 ≤ 4, temos 0 ≤ r ≤ 2. Substituímos na integral: dA = r dr dθ e e{-x2 - y^2} = e{-r2}, ficando
∬D e^-x^2 - y^2 dA = ∫θ=-π/2^π/2 ∫r=0^2 e^-r^2 r ,dr,dθ

Passo 3

Para a integral em r, fazemos u = r^2, então du = 2r dr e r dr = du/2. Assim
∫0^2 e^-r^2 r ,dr = 12 ∫u=0^4 e^-u du = 12 [ -e^-u ]0^4 = 12 (1 - e^-4)

Passo 4

Agora integramos em θ, que é apenas a largura do intervalo: ∫_{-π/2}^{π/2} dθ = π. Logo o resultado final é π vezes o que encontramos em r. Multiplicando, obtemos
∬D e^-x^2 - y^2 dA = π cdot 12 (1 - e^-4) = π2 (1 - e^-4)

Resposta

\frac{π}{2} (1 - e^{-4})

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