15-36 Encontre o limite.
  1. \lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{+}} e^{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} e^{\operatorname{tg} x}.
Informações dadas:
  • A função que aparece é x\mapsto e^{\operatorname{tg} x}.
  • O ponto de aproximação é x=\dfrac{\pi}{2}, aproximando-se pela direita (ou seja, com x>\dfrac{\pi}{2} e x\to\dfrac{\pi}{2}).
    Pergunta explícita: qual o valor de \displaystyle \lim_{x\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} e^{\operatorname{tg} x}?

Passo 2

Entender o comportamento de \operatorname{tg} x quando x\to\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{+}.
Lembre que \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Vamos analisar o sinal e os limites de \sin x e \cos x quando x se aproxima de \dfrac{\pi}{2} pela direita:
  • Quando x\to\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{+} temos \sin x\to 1 (pois \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 e \sin é contínua).
  • Quando x\to\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{+} temos \cos x\to 0 e, mais especificamente, \cos x aproxima-se de 0 por valores negativos (ou seja, \cos x\to 0^{-}) porque à direita de \dfrac{\pi}{2} o cosseno é negativo.
Portanto, ao dividir \sin x (que fica próximo de 1, positivo) por \cos x (que tende a 0 pelo lado negativo), a razão tende a -\infty. Em símbolos:
\lim_{x\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} \operatorname{tg} x = -\infty.
Como explicação alternativa e intuitiva: escreva x=\dfrac{\pi}{2}+h com h>0 pequeno. Usa-se as aproximações de pequeno ângulo
\sin\!\Big(\frac{\pi}{2}+h\Big)=\cos h\approx 1,\qquad \cos\!\Big(\frac{\pi}{2}+h\Big)=-\sin h\approx -h,
logo
\operatorname{tg}\!\Big(\frac{\pi}{2}+h\Big)\approx -\frac{1}{h}\to -\infty\quad\text{quando }h\to0^+.

Passo 3

Entender o comportamento de e^{t} quando t\to -\infty.
A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua e estritamente positiva. Sabe-se que
\lim_{t\to -\infty} e^{t}=0.
Intuição: para t muito negativo, e^{t}=\dfrac{1}{e^{-t}} com -t muito grande e e^{-t} muito grande, então a razão tende a 0. Formalmente, dado qualquer \varepsilon>0 pode-se escolher M>0 tal que e^{-M}<\varepsilon; sempre que t<-M tem-se e^{t}<\varepsilon, mostrando que o limite é 0.

Passo 4

Combinar os resultados das etapas anteriores aplicando uma mudança de variável informal: se \operatorname{tg} x\to -\infty quando x\to\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{+} e se e^{t}\to 0 quando t\to -\infty, então substituindo t=\operatorname{tg} x obtemos
\lim_{x\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} e^{\operatorname{tg} x} = \lim_{t\to -\infty} e^{t} = 0.
Esse é um argumento por composição de limites: a exponencial é contínua, e portanto o limite da composição é a composição dos limites quando o limite interior tende a -\infty (no sentido adequado já explicado).

Resposta

0

Exercícios relacionados