15-36 Encontre o limite.
-
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações dadas:
- A função que aparece é
. - O ponto de aproximação é
, aproximando-se pela direita (ou seja, com e ).
Pergunta explícita: qual o valor de?
Passo 2
Entender o comportamento de
quando
.
Lembre que
. Vamos analisar o sinal e os limites de
e
quando
se aproxima de
pela direita:
- Quando
temos (pois e é contínua). - Quando
temos e, mais especificamente, aproxima-se de por valores negativos (ou seja, ) porque à direita de o cosseno é negativo.
Portanto, ao dividir
(que fica próximo de
, positivo) por
(que tende a
pelo lado negativo), a razão tende a
. Em símbolos:
Como explicação alternativa e intuitiva: escreva
com
pequeno. Usa-se as aproximações de pequeno ângulo
logo
Passo 3
Entender o comportamento de
quando
.
A função exponencial
é contínua e estritamente positiva. Sabe-se que
Intuição: para
muito negativo,
com
muito grande e
muito grande, então a razão tende a
. Formalmente, dado qualquer
pode-se escolher
tal que
; sempre que
tem-se
, mostrando que o limite é
.
Passo 4
Combinar os resultados das etapas anteriores aplicando uma mudança de variável informal: se
quando
e se
quando
, então substituindo
obtemos
Esse é um argumento por composição de limites: a exponencial é contínua, e portanto o limite da composição é a composição dos limites quando o limite interior tende a
(no sentido adequado já explicado).