Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que é dado.
O enunciado pede um esboço (ou seja, um exemplo) de uma função f que satisfaça as três condições:\lim_{x\to -2} f(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x)=3,\qquad \lim_{x\to \infty} f(x)=-3.
Informação relevante fornecida:
Há uma assíntota vertical em x=-2 que deve enviar f(x) para +\infty quando x se aproxima de -2.
Há assíntotas horizontais diferentes nos extremos: à esquerda (x\to -\infty) o valor tende a 3; à direita (x\to\infty) o valor tende a -3.
Passo 2
Estratégia de construção (sem resolver ainda): precisamos combinar duas propriedades num único f:
Uma parte que cria um comportamento de aproximação a 3 para x\to -\infty e a -3 para x\to\infty. Uma construção clássica que faz isso é uma função do tipo constante vezes \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} — ela tende a \pm 1 quando x\to\pm\infty, portanto multiplicando por -3 dá os dois limites horizontais desejados.
Outra parte que tem um pólo em x=-2 que diverge para +\infty. Uma função simples com esse comportamento é \dfrac{1}{(x+2)^{2}} (o quadrado garante divergência para +\infty saindo de ambos os lados).
Então a ideia é somar essas duas partes: a soma de uma função que tem os horizontais corretos e de uma pequena parcela que explode em x=-2 (mas tende a 0 em \pm\infty) deve cumprir todas as condições.
Passo 3
Apresento os blocos básicos e explico por que funcionam.
Bloco A: -3\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Quero estudar os limites desta parcela nos extremos. Para x\to\infty:\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{|x|\sqrt{1+1/x^{2}}}.Para x\to\infty vale |x|=x, então\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x^{2}}}\xrightarrow[x\to\infty]{}1.Multiplicando por -3 obtemos-3\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\xrightarrow[x\to\infty]{}-3.
Para x\to -\infty: agora |x|=-x, então\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{(-x)\sqrt{1+1/x^{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{1+1/x^{2}}}\xrightarrow[x\to -\infty]{}-1.Logo-3\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\xrightarrow[x\to -\infty]{}-3\cdot(-1)=3.
Portanto este bloco já garante os dois limites horizontais desejados (esquerda 3, direita -3).
Bloco B: \dfrac{1}{(x+2)^{2}}.
Esse termo tem um pólo em x=-2 e\lim_{x\to -2}\frac{1}{(x+2)^{2}}=\infty,porque o denominador vai para 0 e está ao quadrado, tornando o quociente positivo e arbitrariamente grande tanto pela esquerda quanto pela direita de -2.
Além disso,\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{(x+2)^{2}}=0,então esse termo não altera os limites horizontais determinados pelo Bloco A.
Passo 4
Combinação: defino a função candidata e verifico cada limite.
Limite em x\to -2. O primeiro termo é finito em x=-2 (valor aproximado -3\cdot(-2)/\sqrt{5}), enquanto o segundo termo tende a +\infty. Soma de uma quantidade finita com +\infty é +\infty. Logo\lim_{x\to -2} f(x)=\infty.
Limite em x\to\infty. O segundo termo tende a 0 e o primeiro termo tende a -3, então\lim_{x\to\infty} f(x)=-3+0=-3.
Limite em x\to -\infty. O segundo termo tende a 0 e o primeiro termo tende a 3, então\lim_{x\to -\infty} f(x)=3+0=3.
Portanto a função f satisfaz exatamente as três condições do enunciado.
Passo 5
Como esboçar o gráfico (passo a passo, para a prova):
Trace a linha horizontal y=3 à esquerda e a linha y=-3 à direita como assíntotas horizontais (comercialmente, desenhe-as tracejadas).
Em x=-2, desenhe uma assíntota vertical; a função deve subir sem limite para +\infty quando x se aproxima de -2 por ambos os lados (porque o termo \frac{1}{(x+2)^{2}} é positivo e diverge).
Para x muito negativo a curva deve aproximar-se de y=3 suavemente (pela parte -3x/\sqrt{x^{2}+1} que se aproxima de 3).
Para x muito positivo a curva deve aproximar-se de y=-3.
Entre esses comportamentos, a função é contínua para todo x\neq -2, sem oscilações estranhas, porque ambas as partes são contínuas exceto em -2. Perto de -2 espere um “pico” indo para +\infty.
Se quiser alguns pontos de referência: por exemplo f(0) = -3\cdot 0 + \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4} (então a curva passa por (0,0{,}25)), e f(1)=-3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{9}\approx -2{,}12 — só para posicionar o esboço.
Essas indicações bastam para desenhar um esboço qualitativo que respeite todas as assíntotas e o pólo pedido.