- (15-38) Uma esfera maciça, com massa de 95 kg e raio de 15 cm , está suspensa por um fio vertical. Um torque de
é necessário para fazer a esfera girar 0,85 rad e ficar em repouso com a nova orientação. Qual é o período das oscilações quando a esfera é liberada? Dica: use
.
(Resp. 12s.)
(Resp. 12s.)
Passo 1
O enunciado pede o período das pequenas oscilações da esfera quando ela é liberada. Dados fornecidos (todos essenciais):
Dica fornecida:
Pergunta explícita: qual é o período
das oscilações quando a esfera é liberada?
Passo 2
Entendendo a relação torque–ângulo (constante de torção): para um fio que exerce um torque restaurador proporcional ao ângulo, vale a lei de Hooke rotacional
onde
é o torque,
o ângulo e
a constante de torção do fio (unidade
). Usamos os dados estáticos do enunciado para achar
: substituir
e
,
Calculemos numericamente:
Passo 3
Momento de inércia da esfera: a fórmula dada é
onde
é a massa e
o raio. Vamos calcular passo a passo:
Passo 4
Equação do movimento para oscilações torsionais: para pequenas oscilações em torno do equilíbrio, o movimento obedece
que é a equação do oscilador harmônico simples em rotação. A frequência angular natural é
O período
(tempo de uma oscilação completa) relaciona-se com
por
Aqui
e
são os valores calculados nos passos anteriores.
Passo 5
Agora substituímos os números na fórmula do período:
Calculemos a razão:
A raiz quadrada:
Multiplicando por
:
Arredondando razoavelmente para duas cifras significativas (coerente com os dados), obtemos
. Isso coincide com a resposta esperada.