1. (15-38) Uma esfera maciça, com massa de 95 kg e raio de 15 cm , está suspensa por um fio vertical. Um torque de 0,20 N \cdot m é necessário para fazer a esfera girar 0,85 rad e ficar em repouso com a nova orientação. Qual é o período das oscilações quando a esfera é liberada? Dica: use \bar{I}_{e s f}=\frac{2}{5} m r^{2}.
    (Resp. 12s.)

Passo 1

O enunciado pede o período das pequenas oscilações da esfera quando ela é liberada. Dados fornecidos (todos essenciais):
m=95\\ \text{kg}
r=15\\ \text{cm}=0{,}15\\ \text{m}
\tau=0{,}20\\ \text{N}\cdot\text{m}\\ \text{(torque necessário para mantê-la girada)}áê
\theta=0{,}85\\ \text{rad}\\ \text{(ângulo correspondente ao torque dado)}â
Dica fornecida:
\bar{I}_{\text{esf}}=\frac{2}{5}mr^{2}.
Pergunta explícita: qual é o período T das oscilações quando a esfera é liberada?

Passo 2

Entendendo a relação torque–ângulo (constante de torção): para um fio que exerce um torque restaurador proporcional ao ângulo, vale a lei de Hooke rotacional
\tau=\kappa\theta,
onde \tau é o torque, \theta o ângulo e \kappa a constante de torção do fio (unidade \text{N}\cdot\text{m}/\text{rad}). Usamos os dados estáticos do enunciado para achar \kappa: substituir \tau e \theta,
\kappa=\frac{\tau}{\theta}=\frac{0{,}20}{0{,}85}.
Calculemos numericamente:
\kappa\approx 0{,}235294\\ \text{N}\cdot\text{m}/\text{rad}.

Passo 3

Momento de inércia da esfera: a fórmula dada é
I=\frac{2}{5}mr^{2},
onde m é a massa e r o raio. Vamos calcular passo a passo:
r^{2}=(0{,}15)^{2}=0{,}0225\\ \text{m}^{2},
mr^{2}=95\times 0{,}0225=2{,}1375\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2},
I=\frac{2}{5}\times 2{,}1375=0{,}4\times 2{,}1375=0{,}855\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.

Passo 4

Equação do movimento para oscilações torsionais: para pequenas oscilações em torno do equilíbrio, o movimento obedece
I\ddot{\theta}+\kappa\theta=0,
que é a equação do oscilador harmônico simples em rotação. A frequência angular natural é
\omega=\sqrt{\frac{\kappa}{I}}.
O período T (tempo de uma oscilação completa) relaciona-se com \omega por
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}.
Aqui I e \kappa são os valores calculados nos passos anteriores.

Passo 5

Agora substituímos os números na fórmula do período:
T=2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}855}{0{,}235294}}.
Calculemos a razão:
\frac{0{,}855}{0{,}235294}\approx 3{,}6345.
A raiz quadrada:
\sqrt{3{,}6345}\approx 1{,}906.
Multiplicando por 2\pi:
T=2\pi\times 1{,}906\approx 11{,}97\\ \text{s}.
Arredondando razoavelmente para duas cifras significativas (coerente com os dados), obtemos T\approx 12\\ \text{s}. Isso coincide com a resposta esperada.

Resposta

12\\ \text{s}

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