Considere uma barragem cuja superficie de contato com a água é plana, com largura de 200 m .
Calcule a força total sobre a barragem devido apenas à pressão da água (desprezando a pressão atmosférica local), quando a água represada está no nivel de 3,3 \mathrm{~m}.
Adote a gravidade local como 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e a água como um fluido incompressivel de densidade 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
** Resposta em 10^{6} \mathrm{~N}, com duas casas decimais.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede a força total sobre a face vertical da barragem causada apenas pela pressão hidrostática da água, desprezando pressão atmosférica. Dados fornecidos:
  • largura da superfície de contato (comprimento horizontal da barragem): w=200\\ \mathrm{m};
  • altura do nível de água: H=3,3\\ \mathrm{m};
  • gravidade local: g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • densidade da água: 1\\ \mathrm{g/cm^{3}} (é preciso converter para unidades do SI).
    A resposta deve ser dada em 10^{6}\\ \mathrm{N} com duas casas decimais.

Passo 2

Conceito básico (explicação didática): a pressão hidrostática a uma profundidade h abaixo da superfície livre é proporcional à profundidade; a fórmula é
p(h)=\rho g h
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • h é a profundidade medida a partir da superfície livre (em \mathrm{m}),
  • p(h) é a pressão absoluta devida à coluna de água (em \mathrm{N/m^{2}}, que é Pascal).
    Essa pressão age sobre a face da barragem; como a pressão varia com h, a força total é a integral da pressão sobre a área molhada.

Passo 3

Definição das variáveis e conversões de unidade:
  • densidade da água: 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. (Explicação: 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m^{3}}.)
  • usaremos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}, w=200\\ \mathrm{m}, H=3,3\\ \mathrm{m}.
  • área elementar da face vertical para um pedaço de altura dh é dA = w\,dh.

Passo 4

Montagem integral para a força total: a força resultante F é a integral da pressão p(h) multiplicada pela área elementar dA ao longo da profundidade de 0 (superfície) até H (fundo):
F=\int_{0}^{H} p(h)\,dA.
Substituindo p(h)=\rho g h e dA=w\,dh obtemos
F=\int_{0}^{H} \rho g h \, (w\,dh).

Passo 5

Simplificação da expressão e cálculo simbólico da integral:
F=\rho g w \int_{0}^{H} h\,dh.
Calcule a integral básica:
\int_{0}^{H} h\,dh=\left.\frac{h^{2}}{2}\right|_{0}^{H}=\frac{H^{2}}{2}.
Portanto a fórmula fechada é
F=\rho g w \frac{H^{2}}{2}.
Explicação rápida: estamos somando (integrando) a pressão linear em h sobre cada faixa w\,dh; o resultado é proporcional a H^{2} porque a pressão cresce linearmente com a profundidade.

Passo 6

Substituição numérica passo a passo:
  • primeiro calcule \rho g:
\rho g = 1000\cdot 9,8 = 9800\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • depois \rho g w:
\rho g w = 9800\cdot 200 = 1{,}96\times 10^{6}\\ \mathrm{N/m}.
(Interpretando unidades: \mathrm{N/m^{3}}\times\mathrm{m}=\mathrm{N/m^{2}} multiplicado por uma área em m produz N; aqui mantemos a unidade consistente ao multiplicar por H^{2}/2.)
  • calcule H^{2}/2:
\frac{H^{2}}{2}=\frac{(3,3)^{2}}{2}=\frac{10,89}{2}=5,445\\ \mathrm{m^{2}}.
  • finalmente multiplique:
F=(1{,}96\times10^{6})\cdot 5{,}445 = 10{,}6722\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Convertendo para notação decimal:
F=10\,672\,200\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Arredondamento conforme pedido: a resposta deve ser dada em 10^{6}\\ \mathrm{N} com duas casas decimais. Escrevendo F em milhões de newtons:
F=10{,}6722\times10^{6}\\ \mathrm{N}\approx 10{,}67\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Pequeno incentivo: você já conseguiu entender a fórmula e calcular passo a passo — é exatamente o tipo de conta que cai em prova quando pedem força hidrostática sobre uma face plana. Respira e vamos à resposta final.

Resposta

10{,}67\times10^{6}\\ \mathrm{N}

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