Questão 1 ( \mathbf{2 , 5} pontos)

Um elétron (carga =-1,6 \times 10^{-19} C ) possui uma velocidade \vec{v}=v_{x} i+v_{y} j, numa região em que está presente um campo magnético \vec{B}=B_{0} \hat{k} uniforme. Determine a força magnética \vec{F}_{B} que atua sobre o elétron, se v_{x}=6 \mathrm{~km} / \mathrm{s}, v_{y}=2 \mathrm{~km} / \mathrm{s} e B_{0}=400 \mu T ? Faça um desenho do problema destacando os vetores envolvidos

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a força magnética \vec{F}_{B} que atua sobre um elétron e fazer um desenho destacando os vetores envolvidos.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
\text{carga do elétron: } q = -1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}é
\text{velocidade: } \vec{v} = v_x\,\hat{\imath}+v_y\,\hat{\jmath}
v_x = 6\\ \mathrm{km/s},\qquad v_y = 2\\ \mathrm{km/s}
\text{campo magnético: } \vec{B} = B_{0}\,\hat{k}é
B_{0} = 400\\ \mu\mathrm{T}
O que devemos devolver: o vetor \vec{F}_{B} (componentes numéricas) e um desenho/descrição indicando \vec{v}, \vec{B} e \vec{F}_{B}.

Passo 2

Fórmula que usamos e significado das variáveis (aula rápida):
A força magnética sobre uma carga em movimento é dada por
\vec{F}_{B} = q\,(\vec{v}\times\vec{B}).
Explicando cada símbolo:
  • \vec{F}_{B} é o vetor força magnética (unidade: \mathrm{N});
  • q é a carga elétrica da partícula (em \mathrm{C});
  • \vec{v} é o vetor velocidade (em \mathrm{m/s});
  • \vec{B} é o vetor campo magnético (em \mathrm{T});
  • \times é o produto vetorial (cross product), que produz um vetor perpendicular a \vec{v} e \vec{B} seguindo a regra da mão direita.
Observação importante: se a carga q for negativa (como no elétron), a direção da força fica invertida em relação à direção de \vec{v}\times\vec{B}.

Passo 3

Conversão de unidades (faça isso sempre para evitar erro):
v_x = 6\\ \mathrm{km/s} = 6000\\ \mathrm{m/s}
v_y = 2\\ \mathrm{km/s} = 2000\\ \mathrm{m/s}
B_{0} = 400\\ \mu\mathrm{T} = 400\times10^{-6}\\ \mathrm{T} = 4{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{T}

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} de forma algébrica (passo a passo):
Escrevemos \vec{v} = v_x\,\hat{\imath}+v_y\,\hat{\jmath}+0\;\hat{k} e \vec{B}=0\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}+B_{0}\,\hat{k}.
Usando identidades básicas dos vetores de base:
\hat{\imath}\times\hat{k} = -\hat{\jmath},\qquad \hat{\jmath}\times\hat{k} = \hat{\imath}.
Logo,
\vec{v}\times\vec{B} = B_{0}\big(v_x(\hat{\imath}\times\hat{k}) + v_y(\hat{\jmath}\times\hat{k})\big) = B_{0}\big(v_x(-\hat{\jmath}) + v_y\hat{\imath}\big).
Portanto,
\vec{v}\times\vec{B} = B_{0}\big(v_y\,\hat{\imath} - v_x\,\hat{\jmath}\big).

Passo 5

Agora multiplico por q e substituo os números (mostrando as contas intermediárias):
Primeiro calcule B_{0}v_y e B_{0}v_x:
B_{0}v_y = (4{,}0\times10^{-4})\times2000 = 4{,}0\times10^{-4}\times2{,}0\times10^{3} = 0{,}8
B_{0}v_x = (4{,}0\times10^{-4})\times6000 = 4{,}0\times10^{-4}\times6{,}0\times10^{3} = 2{,}4
Agora multiplico por q=-1{,}6\times10^{-19}:
q\,B_{0}v_y = -1{,}6\times10^{-19}\times0{,}8 = -1{,}28\times10^{-19}\\ \mathrm{N}
-q\,B_{0}v_x = -\big(-1{,}6\times10^{-19}\times2{,}4\big) = +3{,}84\times10^{-19}\\ \mathrm{N}
Lembre que a componente em \hat{\jmath} vinha com sinal negativo em \vec{v}\times\vec{B}, e o q negativo inverteu novamente, resultando em sinal positivo na componente \hat{\jmath}.
Portanto a força é
\vec{F}_{B} = \big(-1{,}28\times10^{-19}\big)\,\hat{\imath} \;+\; \big(3{,}84\times10^{-19}\big)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

(Cálculo opcional do módulo e direção, para você entender melhor)
Módulo:
|\vec{F}_{B}| = \sqrt{(-1{,}28\times10^{-19})^{2} + (3{,}84\times10^{-19})^{2}} = \sqrt{16{,}384\times10^{-38}} = 4{,}048\times10^{-19}\\ \mathrm{N}\approx 4{,}05\times10^{-19}\\ \mathrm{N}.
Direção (ângulo \theta medido a partir do eixo +x):
\tan\theta = \frac{F_{y}}{F_{x}} = \frac{3{,}84\times10^{-19}}{-1{,}28\times10^{-19}} = -3.
Como F_x<0 e F_y>0, o vetor está no segundo quadrante; o ângulo com o eixo +x é \theta \approx 180^\circ - \arctan(3) \approx 108{,}4^\circ.

Passo 7

Desenho (descrição e um esboço ASCII para orientar — faça algo parecido no rascunho da prova):
  • Eixos: \hat{\imath} para a direita (eixo x), \hat{\jmath} para cima (eixo y), \hat{k} para fora do papel (positivo).
  • \vec{v} está no plano xy, com componente maior em x (para a direita) e menor em y (para cima); ou seja, \vec{v} aponta para a direita e para cima (quadrante 1).
  • \vec{B} aponta para \hat{k} (para fora da página).
  • \vec{v}\times\vec{B} pela mão direita daria um vetor que aponta para algo com componente negativa em x e positiva em y; como a carga é negativa, \vec{F}_{B} aponta na direção oposta a \vec{v}\times\vec{B}, ou seja, para a direção que encontramos: um pouco para a esquerda e mais para cima (segundo quadrante).
Esboço ASCII (interprete as setas):
\begin{array}{c} \text{(fora da página) }\vec{B}=+\hat{k}\\[2mm] \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ \uparrow\\ \\ (\hat{\jmath})\\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ \\ |\\\ \quad\quad\\ \vec{F}_{B}\nwarrow\quad\quad\\ \\ \vec{v}\nearrow\\\ \quad\leftarrow\!x\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \rightarrow\\\ \end{array}á
(Interprete: \vec{v} para a direita-cima; \vec{B} para fora da página; \vec{F}_{B} para a esquerda-cima — isto é consistente com os sinais que calculamos.)
Vai dar certo — respire fundo, copie as etapas e pratique este tipo de problema mais uma vez!]

Resposta

\displaystyle \vec{F}_{B} = -1{,}28\times10^{-19}\,\hat{\imath} + 3{,}84\times10^{-19}\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}
\displaystyle |\vec{F}_{B}| \approx 4{,}05\times10^{-19}\\ \mathrm{N}

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