Questão 3 ( 4,0 pontos)

Uma espira retangular condutora de lados L e c=b-a está orientada paralelamente a um fio condutor infinito a uma distância a. Considere que o fio infinito é percorrido de baixo para cima por uma corrente I.
a) (1,0) Mostre que o módulo do campo magnético em um ponto \mathbf{P}, próximo ao fio infinito, é dado por B=\mu_{0} I /(2 \pi r), onde r é a distância de \mathbf{P} ao fio.
b) (1,0) Calcule o fluxo magnético que está passando pela área da espira retangular: i) para a corrente dada por I=\alpha t, onde t é o tempo e \alpha é uma constante positiva; i i) para a corrente constante dada por I=I_{0}.
c) (1,0) Calcule a força eletromotriz \xi induzida que surge na espira para os casos do item b ).
d) (1,0) Qual é o sentido e a intensidade da corrente elétrica induzida na espira? Justifique com base na Lei de Faraday-Lenz. Considere a resistência da espira igual a R.

Passo 1

O enunciado fornece uma espira retangular condutora cujos lados são L (lado paralelo ao fio) e c=b-a (lado que fica na direção radial em relação ao fio). A espira está colocada paralelamente a um fio condutor infinito que passa corrente vertical de baixo para cima I. A distância do fio até a borda mais próxima da espira é a; a borda mais distante fica a uma distância b do fio, portanto a espira ocupa a região radial entre r=a e r=b.\n\nAs perguntas do enunciado são: \n1) (item a) Mostrar que o módulo do campo magnético em um ponto \mathbf{P} a uma distância r do fio é B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}.\n2) (item b) Calcular o fluxo magnético através da área da espira: i) quando I=\alpha t (com \alpha>0); ii) quando I=I_0 (constante).\n3) (item c) Calcular a fem induzida \xi na espira nos casos do item (b).\n4) (item d) Determinar sentido e intensidade da corrente induzida na espira, supondo resistência R, justificando com a lei de Faraday–Lenz.\n\nInformações relevantes dadas: \mu_0 (permeabilidade do vácuo), L, a, b (com c=b-a), I variável ou constante conforme o item, e resistência da espira R. Não há outras informações geométricas faltando: assumimos a espira plana com um lado paralelo ao fio e a outra direção radial, de modo que um elemento de área é dA=L\,dr (explicarei isso no passo de cálculo do fluxo).

Passo 2

Demonstração de B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} (item a). Vou usar a Lei de Ampère, que é uma ferramenta padrão para obter o campo magnético de fios longos e retos.\n\nA Lei de Ampère (no vácuo) diz que a circulação do campo magnético \mathbf{B} ao longo de um caminho fechado é igual a \mu_0 vezes a corrente total atravessada por esse caminho. Escrito matematicamente:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}}.
Explicando: \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} é a integral de linha do campo magnético ao longo de um contorno fechado; I_{\text{enc}} é a corrente que passa através da superfície delimitada por esse contorno.\n\nEscolhemos como caminho uma circunferência de raio \!r centrada no fio (por simetria o campo nesse caminho tem módulo constante e é tangente à circunferência). Nessa escolha, \mathbf{B} é sempre tangente à direção do elemento d\mathbf{\ell} e tem módulo constante B(r), logo
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = B(r)\oint d\ell = B(r)\,(2\pi r).
A corrente preenchida pelo caminho é exatamente I, então Ampère dá
B(r)\,(2\pi r) = \mu_0 I.
Isolando B(r),
B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Aqui r é a distância do ponto \mathbf{P} ao eixo (ao fio) e a direção do campo \mathbf{B} é dada pela regra da mão direita: envolvendo o fio com os dedos apontando na direção da corrente (de baixo para cima), o polegar aponta na direção da corrente e os dedos indicam a direção do campo magnético circular em torno do fio.

Passo 3

Cálculo do fluxo magnético através da espira (item b). Primeiro explico o que é fluxo magnético e como montamos a integral.\n\nO fluxo magnético \Phi através de uma superfície S é definido por
\Phi = \iint_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A},
onde d\mathbf{A} é o vetor área elementar; o produto escalar \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} mede a componente do campo que atravessa a superfície. No nosso caso a espira está no plano x\!-\!z (por exemplo), com lado L ao longo de z e lado c=b-a ao longo da coordenada radial r. O campo \mathbf{B} nas posições da espira tem direção perpendicular ao plano da espira? Não: o campo é tangencial às circunferências em torno do fio, e, para pontos com coordenada radial positiva, esse campo é paralelo ao vetor normal da superfície da espira. Concluímos que \mathbf{B} é paralelo ao vetor normal da espira ao longo de toda a região entre r=a e r=b. Portanto o produto escalar reduz-se a B(r)\,dA (com sinal conveniente). Para calcular o módulo do fluxo tomamos o módulo do produto.\n\nTomando dA = L\,dr (um retângulo estreito de comprimento L e espessura radial dr), o fluxo magnético total é
\Phi = \int_{r=a}^{r=b} B(r)\,L\,dr.
Substituindo B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} obtemos
\Phi = \int_{a}^{b} \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\,L\,dr = \dfrac{\mu_0 I L}{2\pi}\int_{a}^{b}\dfrac{dr}{r}.
A integral logarítmica dá
\Phi = \dfrac{\mu_0 I L}{2\pi}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg).
Observações: \ln\!\big(\dfrac{b}{a}\big)=\ln\!\big(\dfrac{a+c}{a}\big) porque c=b-a, então também poderíamos escrever \Phi=\dfrac{\mu_0 I L}{2\pi}\ln\!\big(1+\dfrac{c}{a}\big).\n\nAgora aplicamos isso aos dois casos pedidos:\n\ni) Para I=\alpha t (com \alpha>0) substituímos na expressão do fluxo:
\Phi(t)=\dfrac{\mu_0 (\alpha t) L}{2\pi}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg) = \dfrac{\mu_0 \alpha L}{2\pi}\,\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg)\,t.\n\nii) Para I=I_0 (constante),
\Phi = \dfrac{\mu_0 I_0 L}{2\pi}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg),
constante no tempo.

Passo 4

Cálculo da força eletromotriz induzida \xi (item c), usando a Lei de Faraday-Lenz.\n\nA Lei de Faraday afirma que a fem induzida em um circuito é igual ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético através da área do circuito:
\xi = -\dfrac{d\Phi}{dt}.
Aplicando ao resultado do passo anterior:\n\nPara I=\alpha t temos \Phi(t)=\dfrac{\mu_0 \alpha L}{2\pi}\ln\!\big(\dfrac{b}{a}\big)\,t. Diferenciando em relação ao tempo:
\dfrac{d\Phi}{dt} = \dfrac{\mu_0 \alpha L}{2\pi}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg).
Portanto
\xi = -\dfrac{\mu_0 \alpha L}{2\pi}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg).\n\nPara I=I_0 (constante) o fluxo é constante, então \dfrac{d\Phi}{dt}=0 e
\xi = 0.

Passo 5

Sentido e intensidade da corrente induzida (item d). Vou explicar com Lenz e depois dar a intensidade numérica.\n\nInterpretação física (Lenz): \alpha>0 significa que a corrente no fio I=\alpha t está aumentando com o tempo (corrente do fio cresce). Pelo passo 2, o campo magnético gerado pelo fio circula em torno do fio; na região da espira este campo tem uma direção fixa (digamos apontando para o sentido +\hat{n} do vetor normal da espira, conforme adotado nos cálculos). Quando I aumenta, o campo B aumenta, logo o fluxo através da espira aumenta no mesmo sentido. A Lei de Lenz diz que a corrente induzida na espira será tal que gere um campo que se oponha a essa variação — ou seja, o campo induzido pela espira deve apontar no sentido oposto ao aumento.\n\nComo determinar o sentido da corrente na espira para produzir esse campo oposto: use a regra da mão direita para laços: o sentido do campo magnético no centro de um laço é dado pelo polegar quando os dedos indicam o sentido da corrente ao percorrer o laço. Queremos o campo induzido apontando no sentido oposto ao campo produzido pelo fio. Portanto, o sentido da corrente induzida é tal que, visto da mesma direção de onde observamos o campo do fio, o laço aparece com corrente no sentido horário (ou seja, inverso ao sentido que produziria campo na mesma direção do fio). Em termos práticos: se você olhar para a espira a partir do lado do fio (lado mais próximo), a corrente induzida será horária (clockwise) para opor o aumento do fluxo magnético causado pelo aumento de I. Se em vez disso \alpha<0 (corrente do fio diminuindo) o sentido seria anti‑horário — mas o problema toma \alpha>0.\n\nIntensidade da corrente induzida: pela Lei de Ohm para a espira, a corrente induzida tem intensidade
I_{\text{ind}} = \dfrac{|\xi|}{R}.
Para o caso I=\alpha t (em que \xi foi encontrado no passo 4) temos
I_{\text{ind}} = \dfrac{1}{R}\left|\! -\dfrac{\mu_0 \alpha L}{2\pi}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg)\!\right| = \dfrac{\mu_0 \alpha L}{2\pi R}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg).
O sinal negativo em \xi apenas indica a direção (polaridade) da fem; aqui tomamos o módulo para obter a intensidade.\n\nPara o caso I=I_0 (constante), \xi=0 e portanto I_{\text{ind}}=0 (não há corrente induzida).

Resposta

a) B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}.\n
b i) \Phi(t)=\dfrac{\mu_0 \alpha L}{2\pi}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg)\,t.\n
b ii) \Phi=\dfrac{\mu_0 I_0 L}{2\pi}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg).\n
c) Para I=\alpha t: \xi=-\dfrac{\mu_0 \alpha L}{2\pi}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg).\nPara I=I_0: \xi=0.\n
d) Para I=\alpha t (com \alpha>0): a corrente induzida tem intensidade \displaystyle I_{\text{ind}}=\dfrac{\mu_0 \alpha L}{2\pi R}\ln\!\bigg(\dfrac{b}{a}\bigg) e sentido tal que, visto do lado do fio (lado mais próximo da espira), a corrente é horária (clockwise) — isto é, o sentido que gera campo magnético oposto ao aumento do campo do fio (Lenz). Para I=I_0: I_{\text{ind}}=0 (nenhum sentido, nenhuma corrente).

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