15.53 • Você precisa determinar o comprimento de um fio longo e fino, suspenso a partir do teto no átrio de um prédio alto. Um pedaço do fio com
sobrou de sua instalação. Usando uma balança analítica, você determina que a massa do pedaço que sobra é de
. Então você pendura uma massa de
na ponta inferior do fio longo e suspenso. Quando um pulso ondulatório transversal de pequena amplitude é enviado a esse fio, sensores nas duas extremidades medem que o pulso leva
para percorrer o comprimento. (a) Use essas medidas para calcular o comprimento do fio. Suponha que o peso do fio tenha um efeito desprezível sobre a velocidade das ondas transversais. (b) Discuta a precisão da aproximação feita no item (a).
Passo 1
O enunciado trata de um fio fino suspenso, no qual queremos achar o comprimento total
sabendo que um pulso transversal leva
para percorrê-lo. O conteúdo físico é a velocidade de onda em um fio tensionado, dada por
onde
é a tensão e
a massa por unidade de comprimento. Vamos calcular primeiro
a partir de um pedaço de fio de comprimento conhecido e massa medida, depois achar
pela massa pendurada, e em seguida usar
para obter
.
Passo 2
Determinar a massa por comprimento
. O pedaço de fio tem comprimento
e massa
. Convertendo para o SI:
Logo
Passo 3
Calcular a tensão
no fio devido à massa pendurada
. Usando
,
Passo 4
Relacionar a velocidade
da onda com
e
, e usar
.
Como o pulso leva
para ir de uma ponta à outra,
Passo 5
Avaliar a precisão de desprezar o peso do próprio fio na velocidade das ondas.
O peso total do fio seria
O peso total do fio seria
Comparado a
, a fração é
ou seja, um erro de apenas
. Logo, desprezar o peso do fio é uma aproximação perfeitamente válida para este caso.
Resposta
O comprimento do fio é aproximadamente
. A aproximação de desprezar o peso do fio induz um erro de cerca de
, que é completamente desprezível.