15.53 • Você precisa determinar o comprimento de um fio longo e fino, suspenso a partir do teto no átrio de um prédio alto. Um pedaço do fio com 2,00 cm sobrou de sua instalação. Usando uma balança analítica, você determina que a massa do pedaço que sobra é de 14,5 mu g. Então você pendura uma massa de 0,400 kg na ponta inferior do fio longo e suspenso. Quando um pulso ondulatório transversal de pequena amplitude é enviado a esse fio, sensores nas duas extremidades medem que o pulso leva 26,7 ms para percorrer o comprimento. (a) Use essas medidas para calcular o comprimento do fio. Suponha que o peso do fio tenha um efeito desprezível sobre a velocidade das ondas transversais. (b) Discuta a precisão da aproximação feita no item (a).

Passo 1

O enunciado trata de um fio fino suspenso, no qual queremos achar o comprimento total L sabendo que um pulso transversal leva t=26,7;ms para percorrê-lo. O conteúdo físico é a velocidade de onda em um fio tensionado, dada por
v=raizTmu,
onde T é a tensão e mu a massa por unidade de comprimento. Vamos calcular primeiro mu a partir de um pedaço de fio de comprimento conhecido e massa medida, depois achar T pela massa pendurada, e em seguida usar v=L/t para obter L.

Passo 2

Determinar a massa por comprimento mu. O pedaço de fio tem comprimento 0,0200;m e massa 14,5;mug. Convertendo para o SI:
m = 14,5times10^-6,g=14,5times10^-9,kg, De<a x=0,0200;m
Logo
mu=mDe<a x =14,5times10^-90,0200 =7,25times10^-7;kg/m

Passo 3

Calcular a tensão T no fio devido à massa pendurada M=0,400;kg. Usando g=9,80;m/s^2,
T=M,g=0,400times9,80=3,92;N

Passo 4

Relacionar a velocidade v da onda com T e mu, e usar L=v,t.
v=raizTmu =raiz3,927,25times10^-7 approx2,32times10^3;m/s
Como o pulso leva t=26,7;ms=2,67times10^-2;s para ir de uma ponta à outra,
L=v,t approx(2,32times10^3)(2,67times10^-2) approx62,1;m

Passo 5

Avaliar a precisão de desprezar o peso do próprio fio na velocidade das ondas.
O peso total do fio seria
Wfio=mu,L,g =(7,25times10^-7)(62,1)(9,80) approx4,4times10^-4;N
Comparado a T=3,92;N, a fração é
WfioTapprox4,4times10^-43,92 approx1,1times10^-4,
ou seja, um erro de apenas 0,011%. Logo, desprezar o peso do fio é uma aproximação perfeitamente válida para este caso.

Resposta

O comprimento do fio é aproximadamente 62,1;m. A aproximação de desprezar o peso do fio induz um erro de cerca de 0,011%, que é completamente desprezível.

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